Кубооктаэдр

Кубооктаэдр или кубоктаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов.

В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен arccos ⁡ ( − 7 9 ) ≈ 0 , 78 π . {displaystyle arccos left(-{frac {7}{9}} ight)approx 0{,}78pi .}

Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 3 3 ) ≈ 125 , 26 ∘ . {displaystyle arccos left(-{frac {sqrt {3}}{3}} ight)approx 125{,}26^{circ }.}

Кубооктаэдр можно получить из куба, «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид; либо из октаэдра, «срезав» с него 6 квадратных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Кубооктаэдр с длиной ребра 2 {displaystyle {sqrt {2}}} можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ( 0 ; ± 1 ; ± 1 ) . {displaystyle (0;;pm 1;;pm 1).}

Начало координат ( 0 ; 0 ; 0 ) {displaystyle (0;;0;;0)} будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если кубооктаэдр имеет ребро длины a {displaystyle a} , его площадь поверхности и объём выражаются как

S = ( 6 + 2 3 ) a 2 ≈ 9,464 1016 a 2 , {displaystyle S=left(6+2{sqrt {3}} ight)a^{2}approx 9{,}4641016a^{2},} V = 5 2 3 a 3 ≈ 2,357 0226 a 3 . {displaystyle V={frac {5{sqrt {2}}}{3}};a^{3}approx 2{,}3570226a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = a = 1,000 0000 a , {displaystyle R=a=1{,}0000000a,}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 3 2 a ≈ 0,866 0254 a . {displaystyle ho ={frac {sqrt {3}}{2}};aapprox 0{,}8660254a.}

Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром a {displaystyle a} (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

r 4 = 2 2 a ≈ 0,707 1068 a . {displaystyle r_{4}={frac {sqrt {2}}{2}};aapprox 0{,}7071068a.}

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит r 4 {displaystyle r_{4}} и равно

r 3 = 6 3 a ≈ 0,816 4966 a . {displaystyle r_{3}={frac {sqrt {6}}{3}};aapprox 0{,}8164966a.}

Звёздчатые формы

Кубооктаэдр образует звёздчатые формы:

• Исходный многогранник

• Первая звёздчатая форма

• Вторая звёздчатая форма

• Третья звёздчатая форма

• Четвёртая звёздчатая форма

Заполнение пространства

Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:

• Кубооктаэдры и октаэдры

• Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы

• Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры

• Растянутые ромбододекаэдры, кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы

В природе и культуре

Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous.

• Кристалл синтетического алмаза под электронным микроскопом

• Вариант кубика Рубика