Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Теория изгиба балок Тимошенко

07.11.2022

Теория изгиба балок Тимошенко была развита Степаном Прокофьевичем Тимошенко в начале XX века. Модель учитывает сдвиговую деформацию и вращательные изгибы, что делает её применимой для описания поведения толстых балок, сэндвич-панелей и высокочастотных колебаний балок, когда длина волны этих колебаний становится сравнимой с толщиной балки. В отличие от модели изгиба балок Эйлера-Бернулли модель Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка, которое также содержит и частные производные второго порядка. Физически учёт механизмов деформации эффективно снижает жёсткость балки и приводит к большему отклонению при статической нагрузке и к предсказанию меньших собственных частот для заданного набора граничных условий. Последнее следствие наиболее заметно для высоких частот, поскольку длина волны колебаний становится короче и расстояние между противоположно направленными сдвиговыми силами уменьшается.

Если модуль сдвига материала балки положить равным бесконечности (и следовательно запретить балке испытывать сдвиговые деформации) и если пренебречь эффектами инерции на вращение, то модель Тимошенко сводится к обычной теории изгиба балки.

Квазистатическая балка Тимошенко

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов смещение балки предполагается заданным в следующем виде: u x ( x , y , z ) = − z   φ ( x )   ;     u y ( x , y , z ) = 0   ;     u z ( x , y ) = w ( x ) {displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)} где ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} задают координаты точки на балке, u x , u y , u z {displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} — компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, φ {displaystyle varphi } — есть угол вращения нормали по отношению срединной поверхности балки и w {displaystyle w} — смещение срединной поверхности в направлении оси z {displaystyle z} .

Исходными уравнениями является следующая пара связанных обыкновенных дифференциальных уравнений:

d 2 d x 2 ( E I d φ d x ) = q ( x ) d w d x = φ − 1 κ A G d d x ( E I d φ d x ) . {displaystyle {egin{aligned}&{frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}left(EI{frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} x}} ight)=q(x)&{frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}}=varphi -{frac {1}{kappa AG}}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}left(EI{frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} x}} ight).end{aligned}}}

В статическом пределе теория изгиба балки Тимошенко эквивалентна теории изгиба балок Эйлера-Бернулли в случае, когда последним слагаемым можно пренебречь. Это приближение справедливо когда: E I κ L 2 A G ≪ 1 {displaystyle {frac {EI}{kappa L^{2}AG}}ll 1} где

  • L {displaystyle L} — длина балки.
  • A {displaystyle A} — площадь сечения балки.
  • E {displaystyle E} — модуль упругости.
  • G {displaystyle G} — модуль сдвига.
  • I {displaystyle I} — второй момент площади сечения.
  • κ {displaystyle kappa } называется сдвиговым коэффициентом Тимошенко и зависит от формы сечения балки. Для балки прямоугольного сечения κ = 5 / 6 {displaystyle kappa =5/6} .
  • q ( x ) {displaystyle q(x)} — распределение нагрузки (сила приложенная к единице длины).

Комбинируя эти два уравнения получаем в случае однородной балки постоянного сечения: E I   d 4 w d x 4 = q ( x ) − E I κ A G   d 2 q d x 2 {displaystyle EI~{cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{cfrac {mathrm {d} ^{2}q}{mathrm {d} x^{2}}}}

Изгибающий момент M x x {displaystyle M_{xx}} и сдвиговая сила Q x {displaystyle Q_{x}} в балке связаны со смещением w {displaystyle w} и вращением φ {displaystyle varphi } . В случае линейной упругой балки Тимошенко эти связи имеют следующий вид:

M x x = − E I   ∂ φ ∂ x и Q x = κ   A G   ( − φ + ∂ w ∂ x ) . {displaystyle M_{xx}=-EI~{frac {partial varphi }{partial x}}quad { ext{и}}quad Q_{x}=kappa ~AG~left(-varphi +{frac {partial w}{partial x}} ight),.}

Краевые (граничные) условия

Два уравнения, которые описывают деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены краевыми (граничными) условиями. Корректно поставленная задача требует задания четырех граничных условий. Обычно граничными условиями являются:

  • Двухопорные балки: Смещение w {displaystyle w} задается равным нулю в местах расположения двух опор. Также нужно задать изгибающий момент M x x {displaystyle M_{xx}} , приложенный к балке. Вращение φ {displaystyle varphi } и поперечная сдвиговая сила Q x {displaystyle Q_{x}} не заданы.
  • Жёстко защемлённая балка (консоль): Смещение w {displaystyle w} и вращение φ {displaystyle varphi } задаются равными нулю в месте защемленного конца балки. Если один из концов балки свободен, то сдвиговая сила Q x {displaystyle Q_{x}} и изгибающий момент M x x {displaystyle M_{xx}} необходимо задать для этого конца.

Пример: Жестко защемленная балка

Для жестко защемленной балки один конец защемлен, а другой остается свободным. Будем использовать правовинтовую систему координат, в которой направление оси x {displaystyle x} считается положительным в направлении вправо, а направление оси z {displaystyle z} положительно в направлении вверх. Следуя традиционным соглашениям мы предположим, что положительные значения сил направлены в положительном направлении осей x {displaystyle x} и z {displaystyle z} , а положительные изгибающие моменты действуют по часовой стрелке. Также предположим следующее соглашение о знаках компонент механических напряжений ( M x x {displaystyle M_{xx}} и Q x {displaystyle Q_{x}} ): положительные изгибающие моменты сжимают материал балки внизу (меньшие значения координат z {displaystyle z} ), положительные сдвиговые силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что защемленный конец балки имеет координату x = L {displaystyle x=L} ,а свободный конец — x = 0 {displaystyle x=0} . Если точечная нагрузка P {displaystyle P} приложена к свободному концу в положительном направлении оси z {displaystyle z} , то условие равновесия системы сходящихся сил балки дает нам

− P x − M x x = 0 ⟹ M x x = − P x {displaystyle -Px-M_{xx}=0implies M_{xx}=-Px}

и

P + Q x = 0 ⟹ Q x = − P . {displaystyle P+Q_{x}=0implies Q_{x}=-P,.}

Следовательно, из выражений для изгибного момента и сдвиговой силы получаем

P x = E I d φ d x и − P = κ A G ( − φ + d w d x ) . {displaystyle Px=EI,{frac {dvarphi }{dx}}qquad { ext{и}}qquad -P=kappa AGleft(-varphi +{frac {dw}{dx}} ight),.}

Интегрируя первое уравнение и применяя граничное условие φ = 0 {displaystyle varphi =0} при x = L {displaystyle x=L} приходим к

φ ( x ) = − P 2 E I ( L 2 − x 2 ) . {displaystyle varphi (x)=-{frac {P}{2EI}},(L^{2}-x^{2}),.}

Второе уравнение может быть переписано в виде

d w d x = − P κ A G − P 2 E I ( L 2 − x 2 ) . {displaystyle {frac {dw}{dx}}=-{frac {P}{kappa AG}}-{frac {P}{2EI}},(L^{2}-x^{2}),.}

Интегрируя и применяя граничное условие w = 0 {displaystyle w=0} при x = L {displaystyle x=L} пишем

w ( x ) = P ( L − x ) κ A G − P x 2 E I ( L 2 − x 2 3 ) + P L 3 3 E I . {displaystyle w(x)={frac {P(L-x)}{kappa AG}}-{frac {Px}{2EI}},left(L^{2}-{frac {x^{2}}{3}} ight)+{frac {PL^{3}}{3EI}},.}

Осевое напряжение дается тогда выражением

σ x x ( x , z ) = E ε x x = − E z d φ d x = − P x z I = M x x z I . {displaystyle sigma _{xx}(x,z)=E,varepsilon _{xx}=-E,z,{frac {dvarphi }{dx}}=-{frac {Pxz}{I}}={frac {M_{xx}z}{I}},.}

Динамика балки Тимошенко

В теории изгиба балки Тимошенко без осевых эффектов отклонение балки предполагается заданным в виде

u x ( x , y , z , t ) = − z   φ ( x , t )   ;     u y ( x , y , z , t ) = 0   ;     u z ( x , y , z , t ) = w ( x , t ) {displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}

где ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} — координаты точки балки, u x , u y , u z {displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} — компоненты вектора отклонения в трех координатных направлениях, φ {displaystyle varphi } — угол вращения нормали по отношению к срединной поверхности балки и w {displaystyle w} — отклонение срединной поверхности в направлении оси z {displaystyle z} .

Учитывая вышесказанное предположение теория изгиба балки Тимошенко (с допущением колебаний) может быть описано парой линейных уравнений в частных производных:

ρ A ∂ 2 w ∂ t 2 − q ( x , t ) = ∂ ∂ x [ κ A G ( ∂ w ∂ x − φ ) ] {displaystyle ho A{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-q(x,t)={frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight) ight]} ρ I ∂ 2 φ ∂ t 2 = ∂ ∂ x ( E I ∂ φ ∂ x ) + κ A G ( ∂ w ∂ x − φ ) {displaystyle ho I{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}={frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}} ight)+kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)}

где искомыми величинами являются w ( x , t ) {displaystyle w(x,t)} (отклонение балки) и φ ( x , t ) {displaystyle varphi (x,t)} (угловое отклонение). Заметим, что в отличие от теории изгиба балок Эйлера-Бернулли угловое отклонение является отдельной переменной, а не приближается наклоном отклонения. Кроме того,

  • ρ {displaystyle ho } — плотность материала балки (не линейная плотность).
  • A {displaystyle A} — площадь сечения балки.
  • E {displaystyle E} — модуль упругости.
  • G {displaystyle G} — модуль сдвига.
  • I {displaystyle I} — второй момент площади сечения.
  • κ {displaystyle kappa } — называется коэффициентом сдвига Тимошенко, который зависит от формы балки. Для прямоугольного сечения балки κ = 5 / 6 {displaystyle kappa =5/6} .
  • q ( x , t ) {displaystyle q(x,t)} — распределенная нагрузка (сила приложенная к единице длины).
  • m := ρ A {displaystyle m:= ho A}
  • J := ρ I {displaystyle J:= ho I}

Эти параметры не обязательно постоянные.

Дли линейной упругой изотропной однородной балки постоянного сечения эти два уравнения можно скомбинировть в следующее уравнение

E I   ∂ 4 w ∂ x 4 + m   ∂ 2 w ∂ t 2 − ( J + E I m k A G ) ∂ 4 w ∂ x 2   ∂ t 2 + m J k A G   ∂ 4 w ∂ t 4 = q ( x , t ) + J k A G   ∂ 2 q ∂ t 2 − E I k A G   ∂ 2 q ∂ x 2 {displaystyle EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}+m~{cfrac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {EIm}{kAG}} ight){cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}~partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kAG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}=q(x,t)+{cfrac {J}{kAG}}~{cfrac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kAG}}~{cfrac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}}

Уравнение Тимошенко предсказывает наличие критической частоты ω C = 2 π f c = κ G A ρ I . {displaystyle omega _{C}=2pi f_{c}={sqrt {frac {kappa GA}{ ho I}}}.} Для нормальных мод уравнение Тимошенко может быть решено. Поскольку это уравнение четвертого порядка, то у него существует четыре независимых решения, два осцилляторных и два быстро затухающих при частоте ниже f c {displaystyle f_{c}} . Для частот выше f c {displaystyle f_{c}} все решения осцилляторны и, как следствие этого, возникает второй спектр.

Осевые эффекты

Если отклонение балки задается в виде

u x ( x , y , z , t ) = u 0 ( x , t ) − z   φ ( x , t )   ;     u y ( x , y , z , t ) = 0   ;     u z ( x , y , z , t ) = w ( x , t ) {displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}

где u 0 {displaystyle u_{0}} есть дополнительное отклонение в направлении оси x {displaystyle x} , тогда основное уравнение изгиба балки по Тимошенко обретает вид

m ∂ 2 w ∂ t 2 = ∂ ∂ x [ κ A G ( ∂ w ∂ x − φ ) ] + q ( x , t ) J ∂ 2 φ ∂ t 2 = N ( x , t )   ∂ w ∂ x + ∂ ∂ x ( E I ∂ φ ∂ x ) + κ A G ( ∂ w ∂ x − φ ) {displaystyle {egin{aligned}m{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}&={frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight) ight]+q(x,t)J{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}&=N(x,t)~{frac {partial w}{partial x}}+{frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}} ight)+kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)end{aligned}}}

где J = ρ I {displaystyle J= ho I} и N ( x , t ) {displaystyle N(x,t)} приложенная извне осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается напряжением деформации

N x x ( x , t ) = ∫ − h h σ x x   d z {displaystyle N_{xx}(x,t)=int _{-h}^{h}sigma _{xx}~dz}

где σ x x {displaystyle sigma _{xx}} — осевое напряжение. Толщина балки здесь считается равной 2 h {displaystyle 2h} .

Комбинированное уравнение изгиба балки с учетом осевой силы имеет вид

E I   ∂ 4 w ∂ x 4 + N   ∂ 2 w ∂ x 2 + m   ∂ 2 w ∂ t 2 − ( J + m E I κ A G )   ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 + m J κ A G   ∂ 4 w ∂ t 4 = q + J κ A G   ∂ 2 q ∂ t 2 − E I κ A G   ∂ 2 q ∂ x 2 {displaystyle EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}+N~{cfrac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}+m~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {mEI}{kappa AG}} ight)~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}=q+{cfrac {J}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}}

Затухание (демпфирование)

Если, помимо учета осевых сил, мы предположим также наличие демпфирующей силы, которая пропорциональна скорости в виде

η ( x )   ∂ w ∂ t {displaystyle eta (x)~{cfrac {partial w}{partial t}}}

то связанные основные уравнения изгиба балки Тимошенко становятся равными

m ∂ 2 w ∂ t 2 + η ( x )   ∂ w ∂ t = ∂ ∂ x [ κ A G ( ∂ w ∂ x − φ ) ] + q ( x , t ) , {displaystyle m{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}+eta (x)~{cfrac {partial w}{partial t}}={frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight) ight]+q(x,t),}

J ∂ 2 φ ∂ t 2 = N ∂ w ∂ x + ∂ ∂ x ( E I ∂ φ ∂ x ) + κ A G ( ∂ w ∂ x − φ ) , {displaystyle J{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}=N{frac {partial w}{partial x}}+{frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}} ight)+kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight),} а комбинированное уравнение приобретает вид

E I   ∂ 4 w ∂ x 4 + N   ∂ 2 w ∂ x 2 + m   ∂ 2 w ∂ t 2 − ( J + m E I κ A G )   ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ t 2 + m J κ A G   ∂ 4 w ∂ t 4 + J η ( x ) κ A G   ∂ 3 w ∂ t 3 − E I κ A G   ∂ 2 ∂ x 2 ( η ( x ) ∂ w ∂ t ) + η ( x ) ∂ w ∂ t = q + J κ A G   ∂ 2 q ∂ t 2 − E I κ A G   ∂ 2 q ∂ x 2 {displaystyle {egin{aligned}EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}&+N~{cfrac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}+m~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {mEI}{kappa AG}} ight)~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}+{cfrac {Jeta (x)}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{3}w}{partial t^{3}}}&-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(eta (x){cfrac {partial w}{partial t}} ight)+eta (x){cfrac {partial w}{partial t}}=q+{cfrac {J}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}end{aligned}}}

Подобный анзац для демпфирующей силы (похожий на силу вязкости) несколько нереалистичен поскольку вязкость приводит к независящей от частоты амплитудно-зависимой скорости затухания колебаний балки, тогда как эмпирические измерения показывают, что затухание слабо зависит от частоты и сильно зависит от амплитуды отклонения балки.


Коэффициент сдвига

Определить коэффициента сдвига не так-то просто, к тому же неоднозначно (существует несколько способов его определения). В целом он должен удовлетворять условию:

∫ A τ d A = κ A G φ {displaystyle int _{A} au dA=kappa AGvarphi ,} .

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона. Попытки получить точное выражение для него предпринимались многими учёными, включая Степана Прокофьевича Тимошенко, Raymond D. Mindlin, G. R. Cowper, N. G. Stephen, J. R. Hutchinson и другими (см. также вывод уравнений изгиба балки Тимошенко с помощью теории изгиба балки основанной на вариационном-асимптотическом методе в книге Khanh C. Le который приводит к различным сдвиговым коэффициентам в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике выражений Тимошенко вполне достаточно в большинстве случаев. В 1975 году Kaneko опубликовал весьма хороший обзор по коэффициенту сдвига. Позднее новые экспериментальные данные показали, что коэффициент сдвига недооценивается.

Согласно работе Cowper 1966 года для цельного прямоугольного сечения балки

κ = 10 ( 1 + ν ) 12 + 11 ν {displaystyle kappa ={cfrac {10(1+ u )}{12+11 u }}}

и для цельной балки круглого сечения

κ = 6 ( 1 + ν ) 7 + 6 ν {displaystyle kappa ={cfrac {6(1+ u )}{7+6 u }}} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: