Марковский момент времени

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин { Y n } n ≥ 0 {displaystyle {Y_{n}}_{ngeq 0}} . Тогда случайная величина τ {displaystyle au } называется марковским моментом (времени), если для любого n ≥ 0 {displaystyle ngeq 0} событие { τ ≤ n } {displaystyle { au leq n}} зависит только от случайных величин Y 0 , … , Y n {displaystyle Y_{0},ldots ,Y_{n}} .

Пример

Пусть { Y n } n ≥ 0 {displaystyle {Y_{n}}_{ngeq 0}} — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть L ∈ R {displaystyle Lin mathbb {R} } , и

τ = inf { n ≥ 0 ∣ Y n ≥ L } {displaystyle au =inf{ngeq 0mid Y_{n}geq L}}

— момент первого достижения процессом { Y n } {displaystyle {Y_{n}}} уровня L {displaystyle L} . Тогда τ {displaystyle au } — марковский момент, ибо τ ≤ n {displaystyle au leq n} тогда и только тогда, когда существует i ∈ N , 0 ≤ i ≤ n {displaystyle iin mathbb {N} ,;0leq ileq n} такое, что Y i ≥ L {displaystyle Y_{i}geq L} . Таким образом событие { τ ≤ n } {displaystyle { au leq n}} зависит лишь от поведения процесса до момента времени n {displaystyle n} .

Пусть теперь

σ = sup { n ≥ 0 ∣ Y n ≥ L } {displaystyle sigma =sup{ngeq 0mid Y_{n}geq L}}

— момент последнего достижения процессом { Y n } {displaystyle {Y_{n}}} уровня L {displaystyle L} . Тогда σ {displaystyle sigma } не является марковским моментом, ибо событие { σ ≤ n } {displaystyle {sigma leq n}} предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

• Пусть дано вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} с фильтрацией { F t } t ∈ T {displaystyle {{mathcal {F}}_{t}}_{tin T}} , где T ⊂ [ 0 , ∞ ) {displaystyle Tsubset [0,infty )} . Тогда случайная величина τ {displaystyle au } принимающая значения в T ∪ { ∞ } {displaystyle Tcup {infty }} называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если { τ ≤ t } ∈ F t , ∀ t ∈ T {displaystyle { au leq t}in {mathcal {F}}_{t},quad forall tin T} .

• Если дан процесс { X t } t ∈ T {displaystyle {X_{t}}_{tin T}} , и F t = σ ( X s ∣ s ≤ t ) {displaystyle {mathcal {F}}_{t}=sigma (X_{s}mid sleq t)} — его естественные σ-алгебры, то говорят, что τ {displaystyle au } — марковский момент относительно процесса { X t } {displaystyle {X_{t}}} .

• Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

P ( τ < ∞ ) = 1 {displaystyle mathbb {P} ( au <infty )=1} .

Свойства

Если τ {displaystyle au } и σ {displaystyle sigma } — марковские моменты, то

• τ + σ {displaystyle au +sigma } — марковский момент;
• τ ∧ σ ≡ min ( τ , σ ) {displaystyle au wedge sigma equiv min( au ,sigma )} — марковский момент;
• τ ∨ σ ≡ max ( τ , σ ) {displaystyle au vee sigma equiv max( au ,sigma )} — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть { W t } t ≥ 0 {displaystyle {W_{t}}_{tgeq 0}} — стандартный винеровский процесс. Пусть α > 0 {displaystyle alpha >0} . Определим

τ = inf { t ≥ 0 ∣ W t ≥ α } {displaystyle au =inf{tgeq 0mid W_{t}geq alpha }} .

Тогда τ {displaystyle au } — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

f τ ( t ) = α 2 π t 3 e − α 2 2 t , t ≥ 0 {displaystyle f_{ au }(t)={frac {alpha }{sqrt {2pi t^{3}}}}e^{-{frac {alpha ^{2}}{2t}}},quad tgeq 0} .

В частности τ {displaystyle au } — момент остановки. Однако,

E τ = ∞ {displaystyle mathbb {E} au =infty } .