Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

h-принцип

15.09.2022

H-принцип (читается аш-принцип) — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Теория оформилась в работах Элиашберга, Громова и Филлипса.

Основанием послужили более ранние результаты, в которых решение дифференциальных соотношений сводилось к гомотопии, в частности в задачах о погружениях.

Первые идеи h-принципа появились в теореме Уитни — Грауштайна, парадоксе выворачивания сферы, теореме Нэша — Кёйпера и теореме Смейла — Хирша.

Примерное представление

Предположим, мы хотим найти функцию f {displaystyle f} на R m {displaystyle mathbb {R} ^{m}} , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных степени k {displaystyle k} в координатах ( u 1 , u 2 , … , u m ) {displaystyle (u_{1},u_{2},dots ,u_{m})} . Это уравнение можно записать как

Ψ ( u 1 , u 2 , … , u m , J f k ) = 0 , {displaystyle Psi (u_{1},u_{2},dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0,}

где J f k {displaystyle J_{f}^{k}} означает все частные производные f {displaystyle f} до степени k {displaystyle k} . Вместо каждой переменной в J f k {displaystyle J_{f}^{k}} подставим независимую переменную y 1 , y 2 , … , y N . {displaystyle y_{1},y_{2},dots ,y_{N}.} Наше исходное уравнение можно рассматривать как систему

Ψ ( u 1 , u 2 , … , u m , y 1 , y 2 , … , y N ) = 0 {displaystyle Psi (u_{1},u_{2},dots ,u_{m},y_{1},y_{2},dots ,y_{N})=0}

и некоторое количество уравнений следующего типа

y j = ∂ k f ∂ u i 1 … ∂ u i k . {displaystyle y_{j}={partial ^{k}f over partial u_{i_{1}}ldots partial u_{i_{k}}}.}

Решение уравнения

Ψ ( u 1 , u 2 , … , u m , y 1 , y 2 , … , y N ) = 0 {displaystyle Psi (u_{1},u_{2},dots ,u_{m},y_{1},y_{2},dots ,y_{N})=0}

называется формальным или неголономным решением, решение системы (которое является решением нашего первоначального уравнения) называется голономным решением.

Для существования голономного решения необходимо существование неголономного решения. Обычно последнее довольно легко проверить, и если его нет, то наше исходное уравнение не имеет решений.

Говорят, что уравнение в частных производных удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение может быть продеформировано в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при выполнении h-принципa, дифференциальнo-топологическая задача сводится к алгебраической и топологической задаче. Более конкретно это означает, что кроме топологических, нет других препятствий для существования голономных решений. Топологическая проблема поиска неголономных решение обычно намного проще.

Многие недоопределенные дифференциальные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу.

Невыполнение h-принципа для определённого уравнения — тоже интересное утверждение, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Примером служат лагранжевы вложения в симплектическое многообразие; они не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, используют инварианты на основе псевдо-голоморфных кривых.

Простейший пример

Рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение машины на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами x {displaystyle x} и y {displaystyle y} (например, пусть эти координаты задают положение средней точки между задними колёсами) и углом α {displaystyle alpha } , который описывает ориентацию автомобиля. В движении автомобиль удовлетворяет уравнению

x ˙ sin ⁡ α = y ˙ cos ⁡ α , {displaystyle {dot {x}}sin alpha ={dot {y}}cos alpha ,}

предполагая, что автомобиль двигается без заноса.

Неголономное решение в данном случае соответствует движению автомобиля за счет скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также они сколь угодно хорошо аппроксимируются голономными (этого можно добиться движением взад-вперед, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) — обратите внимание, что при этом и положение и направление автомобиля аппроксимируются сколь угодно близко. Последнее свойство сильнее, чем общий h-принцип; оно называется C 0 {displaystyle C^{0}} -плотный h-принцип.

Приложения

Здесь перечислены несколько контринтуитивных результатов, которые можно доказать применением h-принципа:

  • Выворачивание конуса. Рассмотрим функцию f на R2 без начала координат, f ( x ) = | x | {displaystyle f(x)=|x|} . Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций f t {displaystyle f_{t}} таких, что f 0 = f {displaystyle f_{0}=f} , f 1 = − f {displaystyle f_{1}=-f} , и для любого t {displaystyle t} градиент f t {displaystyle f_{t}} отличен от нуля в любой точке.
  • Любое открытое многообразие допускает (не полную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.
  • Выворачивание сферы без складок или разрыва может быть проделано, используя только C 1 {displaystyle C^{1}} изометрические вложения сферы.
  • Теорема Нэша о регулярных вложениях.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: