Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Аксиома счётного выбора

24.08.2022

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая A C ω . {displaystyle mathbf {AC} _{omega }.} Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств S 1 , S 2 , S 3 … {displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}dots } можно построить последовательность их представителей x 1 , x 2 , x 3 … {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}dots } при этом множества S i {displaystyle S_{i}} могут быть бесконечными и даже несчётными.

Место аксиомы в математике

Аксиома счётного выбора A C ω {displaystyle mathbf {AC} _{omega }} представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора ( A C {displaystyle mathbf {AC} } ), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора). В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частности:

  • для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
  • мера Лебега счётно-аддитивна;
  • всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант A C ω , {displaystyle mathbf {AC} _{omega },} называемый «аксиома зависимого выбора» ( D C {displaystyle mathbf {DC} } ). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности ( A D {displaystyle mathbf {AD} } ).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: