Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Отношение эквивалентности

21.06.2022

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

Отношение эквивалентности ( ∼ {displaystyle sim } ) на множестве X {displaystyle X} — это бинарное отношение, для которого при любых a , b , c {displaystyle a,b,c} из X {displaystyle X} выполнены следующие условия:

  • рефлексивность: a ∼ a {displaystyle asim a} ;
  • симметричность: если a ∼ b {displaystyle asim b} , то b ∼ a {displaystyle bsim a} ;
  • транзитивность: если a ∼ b {displaystyle asim b} и b ∼ c {displaystyle bsim c} , то a ∼ c {displaystyle asim c} .
  • Запись вида « a ∼ b {displaystyle asim b} » читается как « a {displaystyle a} эквивалентно b {displaystyle b} ».

    Связанные определения

    Классом эквивалентности [ a ] ⊂ X {displaystyle [a]subset X} элемента a ∈ X {displaystyle ain X} называется подмножество элементов, эквивалентных a {displaystyle a} ; то есть,

    [ a ] = { x ∈ X ∣ x ∼ a } {displaystyle [a]={,xin Xmid xsim a,}} .

    Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если b ∈ [ a ] {displaystyle bin [a]} , то [ a ] = [ b ] {displaystyle [a]=[b]} .

    Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества X {displaystyle X} по заданному отношению ∼ {displaystyle sim } , обозначается X / ∼ {displaystyle X/{sim }} .

    Для класса эквивалентности элемента a {displaystyle a} используются следующие обозначения: [ a ] {displaystyle [a]} , a / ∼ {displaystyle a/{sim }} , a ¯ {displaystyle {overline {a}}} .

    Множество классов эквивалентности по отношению ∼ {displaystyle sim } является разбиением множества.

    Примеры

    • Равенство (« = {displaystyle =} »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
    • Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
    • В евклидовой геометрии
      • Отношение конгруэнтности (« ≅ {displaystyle cong } »).
      • Отношение подобия (« ∼ {displaystyle sim } »).
      • Отношение параллельности прямых (« ‖ {displaystyle |} ») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
    • Эквивалентность функций в математическом анализе: Говорят, что функция f ( x ) {displaystyle f(x)} эквивалентна функции g ( x ) {displaystyle g(x)} при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} , если она допускает представление вида f ( x ) = α ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)=alpha (x)g(x)} , где α ( x ) → 1 {displaystyle alpha (x) ightarrow 1} при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} . В этом случае пишут f ( x ) ∼ g ( x ) {displaystyle f(x)sim g(x)} , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} . Если g ( x ) ≠ 0 {displaystyle g(x) eq 0} при x ≠ x 0 {displaystyle x eq x_{0}} , эквивалентность функций f ( x ) {displaystyle f(x)} и g ( x ) {displaystyle g(x)} при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} , очевидно, равносильна соотношению lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = 1 {displaystyle lim _{x ightarrow x_{0}}{frac {f(x)}{g(x)}}=1} .
    • Эквивалентность норм на векторном пространстве.
    • Отношение равномощности множеств.
    • Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
    • Эквивалентность категорий.
    • Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
    • Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

    Классы эквивалентности

    Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ∼ {displaystyle sim } , обозначается символом X / ∼ {displaystyle X/{sim }} и называется фактормножеством относительно ∼ {displaystyle sim } . При этом сюръективное отображение

    p : x ↦ [ x ] {displaystyle pcolon xmapsto [x]}

    называется естественным отображением (или канонической проекцией) X {displaystyle X} на фактормножество X / ∼ {displaystyle X/{sim }} .

    Пусть X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} — множества, f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} — отображение, тогда бинарное отношение x ∼ y {displaystyle xsim y} , определённое правилом

    x ∼ y ⟺ f ( x ) = f ( y ) , x , y ∈ X {displaystyle xsim yiff f(x)=f(y),quad x,yin X} ,

    является отношением эквивалентности на X {displaystyle X} . При этом отображение f {displaystyle f} индуцирует отображение f ¯ : X / ∼ → Y {displaystyle {overline {f}}colon X/{sim } o Y} , определяемое правилом

    f ¯ ( [ x ] ) = f ( x ) {displaystyle {overline {f}}([x])=f(x)}

    или, что то же самое,

    ( f ¯ ∘ p ) ( x ) = f ( x ) {displaystyle ({overline {f}}circ p)(x)=f(x)} .

    При этом получается факторизация отображения f {displaystyle f} на сюръективное отображение p {displaystyle p} и инъективное отображение f ¯ {displaystyle {overline {f}}} .


    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: