Отношение эквивалентности
Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.
Определение
Отношение эквивалентности ( ∼ {displaystyle sim } ) на множестве X {displaystyle X} — это бинарное отношение, для которого при любых a , b , c {displaystyle a,b,c} из X {displaystyle X} выполнены следующие условия:
Запись вида « a ∼ b {displaystyle asim b} » читается как « a {displaystyle a} эквивалентно b {displaystyle b} ».
Связанные определения
Классом эквивалентности [ a ] ⊂ X {displaystyle [a]subset X} элемента a ∈ X {displaystyle ain X} называется подмножество элементов, эквивалентных a {displaystyle a} ; то есть,
[ a ] = { x ∈ X ∣ x ∼ a } {displaystyle [a]={,xin Xmid xsim a,}} .Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если b ∈ [ a ] {displaystyle bin [a]} , то [ a ] = [ b ] {displaystyle [a]=[b]} .
Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества X {displaystyle X} по заданному отношению ∼ {displaystyle sim } , обозначается X / ∼ {displaystyle X/{sim }} .
Для класса эквивалентности элемента a {displaystyle a} используются следующие обозначения: [ a ] {displaystyle [a]} , a / ∼ {displaystyle a/{sim }} , a ¯ {displaystyle {overline {a}}} .
Множество классов эквивалентности по отношению ∼ {displaystyle sim } является разбиением множества.
Примеры
- Равенство (« = {displaystyle =} »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
- Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
- В евклидовой геометрии
- Отношение конгруэнтности (« ≅ {displaystyle cong } »).
- Отношение подобия (« ∼ {displaystyle sim } »).
- Отношение параллельности прямых (« ‖ {displaystyle |} ») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
- Эквивалентность функций в математическом анализе: Говорят, что функция f ( x ) {displaystyle f(x)} эквивалентна функции g ( x ) {displaystyle g(x)} при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} , если она допускает представление вида f ( x ) = α ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)=alpha (x)g(x)} , где α ( x ) → 1 {displaystyle alpha (x) ightarrow 1} при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} . В этом случае пишут f ( x ) ∼ g ( x ) {displaystyle f(x)sim g(x)} , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} . Если g ( x ) ≠ 0 {displaystyle g(x) eq 0} при x ≠ x 0 {displaystyle x eq x_{0}} , эквивалентность функций f ( x ) {displaystyle f(x)} и g ( x ) {displaystyle g(x)} при x → x 0 {displaystyle x ightarrow x_{0}} , очевидно, равносильна соотношению lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = 1 {displaystyle lim _{x ightarrow x_{0}}{frac {f(x)}{g(x)}}=1} .
- Эквивалентность норм на векторном пространстве.
- Отношение равномощности множеств.
- Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
- Эквивалентность категорий.
- Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
- Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.
Классы эквивалентности
Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ∼ {displaystyle sim } , обозначается символом X / ∼ {displaystyle X/{sim }} и называется фактормножеством относительно ∼ {displaystyle sim } . При этом сюръективное отображение
p : x ↦ [ x ] {displaystyle pcolon xmapsto [x]}называется естественным отображением (или канонической проекцией) X {displaystyle X} на фактормножество X / ∼ {displaystyle X/{sim }} .
Пусть X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} — множества, f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} — отображение, тогда бинарное отношение x ∼ y {displaystyle xsim y} , определённое правилом
x ∼ y ⟺ f ( x ) = f ( y ) , x , y ∈ X {displaystyle xsim yiff f(x)=f(y),quad x,yin X} ,является отношением эквивалентности на X {displaystyle X} . При этом отображение f {displaystyle f} индуцирует отображение f ¯ : X / ∼ → Y {displaystyle {overline {f}}colon X/{sim } o Y} , определяемое правилом
f ¯ ( [ x ] ) = f ( x ) {displaystyle {overline {f}}([x])=f(x)}или, что то же самое,
( f ¯ ∘ p ) ( x ) = f ( x ) {displaystyle ({overline {f}}circ p)(x)=f(x)} .При этом получается факторизация отображения f {displaystyle f} на сюръективное отображение p {displaystyle p} и инъективное отображение f ¯ {displaystyle {overline {f}}} .