Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Циркулянтный граф

23.05.2022

В теории графов циркулянтным графом называется неориентированный граф, имеющий циклическую группу симметрий, которая включает симметрию, переводящую любую вершину в любую другую вершину.

Эквивалентные определения

Циркулянтные графы могут быть определены несколькими эквивалентными способами:

  • Автоморфизм группы графа содержит циклическую подгруппу, которая действует транзитивно на вершинах графа.
  • Граф имеет матрицу смежности, являющуюся циркулянтом.
  • n {displaystyle n} вершин графа можно пронумеровать числами от 0 до n − 1 таким образом, что если две вершины с номерами x {displaystyle x} и y {displaystyle y} смежны, то любые две вершины с номерами z {displaystyle z} и (zx + y) mod n тоже смежны.
  • Граф можно нарисовать (с возможными пересечениями рёбер) так, что его вершины лежат в углах правильного многоугольника и любой поворот многоугольника в себя является симметрией рисунка (получаем тот же рисунок).

Примеры

Любой цикл является циркулянтным графом, как и любая корона.

Графы Пэли порядка n {displaystyle n} (где n {displaystyle n} — простое число, сравнимое с 1 по модулю 4) — это графы, в которых вершины являются числами от 0 до n − 1 и две вершины смежны, если разность соответствующих чисел является квадратичным вычетом по модулю n {displaystyle n} . Вследствие того, что присутствие или отсутствие ребра зависит только от разности номеров вершин по модулю n {displaystyle n} , любой граф Пэли является циркулянтным графом.

Любая лестница Мёбиуса является циркулянтным графом, как и любой полный граф. Полный двудольный граф является циркулянтным, если обе его части имеют одинаковое число вершин.

Если два числа m {displaystyle m} и n {displaystyle n} взаимно просты, то m × n ладейный граф (граф, имеющий вершину в каждой клетке шахматной доски m × n и рёбра между любыми двумя клетками, если ладья может перейти с одной клетки на другую за один ход) является циркулянтным графом. Это является следствием того, что его симметрии содержат в качестве подгруппы циклическую группу {{{1}}}. Как обобщение этого случая, прямое произведение графов между любыми циркулянтными графами с m {displaystyle m} и n {displaystyle n} вершинами даёт в результате циркулянтный граф.

Многие из известных нижних границ чисел Рамсея появляются из примеров циркулянтных графов, имеющих маленькие максимальные клики и маленькие максимальные независимые множества.

Конкретный пример

Циркулянтный граф C n s 1 , … , s k {displaystyle C_{n}^{s_{1},ldots ,s_{k}}} (или C n ( s 1 , … , s k ) {displaystyle C_{n}(s_{1},ldots ,s_{k})} , или c i r c ( n : s 1 , … , s k ) {displaystyle circ(n:s_{1},ldots ,s_{k})} ) с прыжками s 1 , … , s k {displaystyle s_{1},ldots ,s_{k}} определяется как граф с n {displaystyle n} узлами, пронумерованными числами 0 , 1 , … , n − 1 {displaystyle 0,1,ldots ,n-1} и каждый узел i {displaystyle i} смежен с 2k узлами i ± s 1 , … , i ± s k {displaystyle ipm s_{1},ldots ,ipm s_{k}} по модулю n {displaystyle n} .

  • Граф C n s 1 , … , s k {displaystyle C_{n}^{s_{1},ldots ,s_{k}}} связан тогда и только тогда, когда НОД ( n , s 1 , … , s k ) = 1 {displaystyle (n,s_{1},ldots ,s_{k})=1} .
  • Если 1 ≤ s 1 < ⋯ < s k {displaystyle 1leq s_{1}<cdots <s_{k}} фиксировнные целые, то число остовных деревьев t ( C n s 1 , … , s k ) = n a n 2 {displaystyle t(C_{n}^{s_{1},ldots ,s_{k}})=na_{n}^{2}} , где a n {displaystyle a_{n}} удовлетворяет рекуррентному соотношению порядка 2 s k − 1 {displaystyle 2^{s_{k}-1}} .
    • В частности, t ( C n 1 , 2 ) = n F n 2 {displaystyle t(C_{n}^{1,2})=nF_{n}^{2}} , где F n {displaystyle F_{n}} — n-ое число Фибоначчи.

Самодополнительные циркулянты

Самодополнительный граф — это граф, в котором удаление существующих рёбер и добавление отсутствующих даёт граф, изоморфный исходному.

Например, циклический граф с пятью вершинами самодополнителен и является также циркулянтным. В более общем виде, любой граф Пэли является самодополнительным циркулянтным графом. Хорст Сакс показал, что если число n {displaystyle n} обладает свойством, что любой простой делитель n {displaystyle n} сравним с 1 по модулю 4, то существует самодополнительный циркулянтный граф с n {displaystyle n} вершинами. Он высказал гипотезу, что это условие необходимо, то есть при других значениях n {displaystyle n} самодополнительные циркулянтные графы не существуют. Гипотеза доказана 40 лет позже Вилфредом (Vilfred).

Гипотеза Адамса

Определим циркулянтную нумерацию циркулянтного графа как маркировку вершин графа числами от 0 до n − 1 таким образом, что если две вершины x {displaystyle x} и y {displaystyle y} смежны, то любые две вершины с номерами z {displaystyle z} и (zx + y) mod n тоже смежны. Эквивалентно, циркулянтная нумерация — это нумерация вершин при которой матрица смежности графа является циркулянтной матрицей.

Пусть a {displaystyle a} — целое, взаимно простое c n {displaystyle n} , и пусть b {displaystyle b} — любое целое. Тогда линейная функция ax + b преобразует циркулянтную нумерацию в другую циркулянтную нумерацию. Андраш Адам (András Ádám) высказал гипотезу, что линейное отображение — единственный способ перенумерации вершин графа, сохраняющее свойство циркулянтности. То есть, если G {displaystyle G} и H {displaystyle H} — два изоморфных циркулянтных графа с различными нумерациями, то существует линейное преобразование, переводящее нумерацию для G {displaystyle G} в нумерацию для H {displaystyle H} . Однако, как выяснилось, гипотеза Адама не верна. Контрпримером служат графы G {displaystyle G} и H {displaystyle H} с 16-ю вершинами в каждом; вершина x {displaystyle x} в G {displaystyle G} соединена с шестью соседями x ± 1, x ± 2, и x ± 7 (по модулю 16), в то время как в H {displaystyle H} шесть соседей — это x ± 2, x ± 3, и x ± 5 (по модулю 16). Эти два графа изоморфны, но их изоморфизм нельзя получить посредством линейного преобразования.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: