Лемма Гронуолла — Беллмана

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

• u ( t ) ≥ 0   {displaystyle u(t)geq 0 }
• f ( t ) ≥ 0   {displaystyle f(t)geq 0 }
• u ( t ) , f ( t ) ∈ C [ t 0 , ∞ ) , {displaystyle u(t),f(t)in C[t_{0},infty ),}

при этом для t ≥ t 0 {displaystyle tgeq t_{0}} выполняется неравенство:

u ( t ) ≤ c + ∫ t 0 t f ( t 1 ) u ( t 1 ) d t 1 , ( 1 ) {displaystyle u(t)leq c+int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),u(t_{1}),dt_{1},qquad (1)}

где c {displaystyle c} — положительная константа.

Тогда при t ≥ t 0 {displaystyle tgeq t_{0}} имеем оценку:

u ( t ) ≤ c ⋅ exp ⁡ ∫ t 0 t f ( t 1 ) d t 1 . ( 2 ) {displaystyle u(t)leq ,ccdot exp int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),dt_{1}.qquad (2)}

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

u ( t ) c   +   ∫ t 0 t f ( t 1 ) u ( t 1 ) d t 1 ≤ 1 {displaystyle {frac {u(t)}{c + int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),u(t_{1}),dt_{1}}},leq 1}

и

f ( t ) u ( t ) c + ∫ t 0 t f ( t 1 ) u ( t 1 ) d t 1 ≤ f ( t ) , ( 3 ) {displaystyle {frac {f(t)u(t)}{c,+,int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),u(t_{1}),dt_{1}}},leq ,f(t),qquad (3)}

А так как

d d t [ c + ∫ t 0 t f ( t 1 ) u ( t 1 ) d t 1 ] = f ( t ) u ( t ) , {displaystyle {frac {d}{dt}}{igg [}c,+,int _{t_{0}}^{t}f(t_{1}),u(t_{1}),dt_{1}{igg ]}=f(t)u(t),}

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от t 0 {displaystyle t_{0}} до t {displaystyle t} , получим:

ln ⁡ [ c + ∫ t 0 t f ( t 1 ) u ( t 1 ) d t 1 ] − ln ⁡ c ≤ ∫ t 0 t f ( t 1 ) d t 1 . {displaystyle ln {igg [}c,+,int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),u(t_{1}),dt_{1}{igg ]},-,ln c,leq ,int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),dt_{1}.}

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

u ( t ) ≤ c + ∫ t 0 t f ( t 1 ) u ( t 1 ) d t 1 ≤ c exp ⁡ ∫ t 0 t f ( t 1 ) d t 1 , {displaystyle u(t),leq ,c,+,int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),u(t_{1}),dt_{1},leq ,c,exp int _{t_{0}}^{t},f(t_{1}),dt_{1},}

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция u ( x ) {displaystyle u(x)} неотрицательна и непрерывна в промежутке [ x 0 , x 0 + h ] {displaystyle left[x_{0},x_{0}+h ight]} и удовлетворяет там неравенству: 0 ⩽ u ( x ) ⩽ A + B ∫ x 0 x u ( t ) d t + ϵ ( x − x 0 ) , A ⩾ 0 , B ⩾ 0 , ϵ ⩾ 0 {displaystyle 0leqslant u(x)leqslant A+Bint _{x_{0}}^{x}u(t)dt+epsilon (x-x_{0}),Ageqslant 0,Bgeqslant 0,epsilon geqslant 0} . Тогда при x ∈ [ x 0 , x 0 + h ] {displaystyle xin left[x_{0},x_{0}+h ight]} справедливо неравенство: u ( x ) ⩽ A e B ( x − x 0 ) + ϵ B ( e B ( x − x 0 ) − 1 ) {displaystyle u(x)leqslant Ae^{B(x-x_{0})}+{frac {epsilon }{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)} .