Асимптотическая формула Вейля

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Асимптотическая формула Вейля

08.12.2021

Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.

История

Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.

Формулировка

Пусть Ω {displaystyle Omega } — d {displaystyle d} -мерное риманово многообразие. Обозначим через N ( λ ) {displaystyle N(lambda )} число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих λ {displaystyle lambda } , для задачи Дирихле на Ω {displaystyle Omega } . Тогда

N ( λ ) = ω d ( 2 π ) d ⋅ vol ⁡ Ω ⋅ λ d / 2 + o ( λ d / 2 ) {displaystyle N(lambda )={frac {omega _{d}}{(2pi )^{d}}}cdot operatorname {vol} Omega cdot lambda ^{d/2}+o(lambda ^{d/2})} ,

где ω d {displaystyle omega _{d}} обозначает объем единичного шара в d {displaystyle d} -мерном евклидовом пространстве.

Уточнения

Оценка на остаточный член была многократно улучшена.

  • В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до O ( λ ( d − 1 ) / 2 log ⁡ λ ) {displaystyle O(lambda ^{(d-1)/2}log lambda )} .
  • В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение O ( λ ( d − 1 ) / 2 ) {displaystyle O(lambda ^{(d-1)/2})} для замкнутых многообразий.
  • Роберт Сили обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.

Предположительно, следующий член в асимптотике при λ ( d − 1 ) / 2 {displaystyle lambda ^{(d-1)/2}} пропорционален площади границы Ω {displaystyle Omega } . С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть o ( λ ( d − 1 ) / 2 ) {displaystyle o(lambda ^{(d-1)/2})} . В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть o ( λ ( d − 1 ) / 2 ) {displaystyle o(lambda ^{(d-1)/2})} .

  • В 1975 году Ганс Дейстермаат и Виктор Гийемин доказали оценку o ( λ ( d − 1 ) / 2 ) {displaystyle o(lambda ^{(d-1)/2})} при некоторых дополнительных условиях общего положения.
    • Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году. Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в Ω {displaystyle Omega } имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных Евклидовых областей с гладкими границами.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: