Число ван дер Вардена

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Число ван дер Вардена

05.12.2021

Числом ван дер Вардена W ( r , k ) {displaystyle W(r,;k)} называется наименьшее N {displaystyle N} такое, что в любой раскраске множества { 1 , 2 , … , N } {displaystyle {1,;2,;ldots ,;N}} в r {displaystyle r} цветов найдётся одноцветная арифметическая прогрессия длины k {displaystyle k} . Существование этих чисел гарантирует теорема ван дер Вардена из теории Рамсея.

Оценка чисел ван дер Вардена

Есть два случая, в которых число ван дер Вардена W ( r , k ) {displaystyle W(r,;k)} легко вычислить:

Во-первых, когда число цветов r {displaystyle r} равно 1, очевидно W ( 1 , k ) = k {displaystyle W(1,;k)=k} для любого целого k {displaystyle k} , так как один цвет производит только тривиальные раскраски RRRR…RRR (для одного цвета, обозначаемого R {displaystyle R} ).

Во-вторых, если длина K {displaystyle K} требуемой арифметической прогрессии равна 2, то W ( r , 2 ) = r + 1 {displaystyle W(r,;2)=r+1} , так как можно построить раскраску, которая избегает арифметических прогрессий длины 2, используя каждый цвет не более одного раза, но используя любой цвет дважды, создает арифметическую прогрессию длины 2. (Например, для r = 3 {displaystyle r=3} самой длинной раскраской, избегающей арифметической прогрессии длины 2, является RGB.)

Есть только семь других чисел ван дер Вардена, которые известны точно.

В приведенной ниже таблице приведены точные значения и границы значений W ( r , k ) {displaystyle W(r,;k)} .

Уильям Гауэрс доказал, что числа ван дер Вардена с R ⩾ 2 {displaystyle Rgeqslant 2} ограничиваются сверху

W ( r , k ) ⩽ 2 2 r 2 2 k + 9 . {displaystyle W(r,;k)leqslant 2^{2^{r^{2^{2^{k+9}}}}}.}

Элвин Берлекэмп доказал, что для простого числа p {displaystyle p} , 2-цветное число ван дер Вардена количество ограничено снизу

p ⋅ 2 p ⩽ W ( 2 , p + 1 ) . {displaystyle pcdot 2^{p}leqslant W(2,;p+1).}

Иногда также используется обозначение w ( r ; k 1 , k 2 , … , k r ) {displaystyle w(r;;k_{1},;k_{2},;ldots ,;k_{r})} , которое означает наименьшее число w {displaystyle w} такое, что любая раскраска целых чисел { 1 , 2 , … , w } {displaystyle {1,;2,;ldots ,;w}} с R {displaystyle R} цветами содержит прогрессию длины k i {displaystyle k_{i}} цвета i {displaystyle i} , для некоторых i {displaystyle i} . Такие числа называются недиагональными числами ван дер Вардена.

Таким образом: W ( r , k ) = w ( r ; k , k , … , k ) {displaystyle W(r,;k)=w(r;;k,;k,;ldots ,;k)} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: