S-волна

S-волны представляют собой тип упругих волн. Название S-волны связано с английским «shear waves» — сдвиговые волны или волна сдвига (рисунок 1). Так как модуль сдвига в жидкостях и газах равен нулю, то S-волны могут проходить только через твёрдые тела. В случаях, когда упругость не проявляется (например, в несжимаемой жидкости), в них распространяются вязкие волны.

Основные свойства

Это поперечная волна, вектор её распространения перпендикулярен вектору поляризации. На рисунке 2 можно наблюдать поляризацию S-волны и видно, что из условия перпендикулярности вектору поляризации возникает два решения для волнового вектора для SH-волны и SV-волны, также там изображены и вектора распространения.

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны SV, где А — амплитуда падающей волны: u S V = A ( cos ⁡ j 0 sin ⁡ j ) e x p ( i ω ( sin ⁡ j v s x − cos ⁡ j v s z − t ) ) {displaystyle u_{SV}=A{egin{pmatrix}cos {j}sin {j}end{pmatrix}}expleft(iomega left({frac {sin {j}}{v_{s}}}x-{frac {cos {j}}{v_{s}}}z-t ight) ight)}

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны SH, где А — амплитуда падающей волны: u S H = A ( 0 1 0 ) e x p ( i ω ( sin ⁡ j v s x − cos ⁡ j v s z − t ) ) {displaystyle u_{SH}=A{egin{pmatrix}01end{pmatrix}}expleft(iomega left({frac {sin {j}}{v_{s}}}x-{frac {cos {j}}{v_{s}}}z-t ight) ight)}

Скорость волн S в однородной изотропной среде выражается:

v s = μ ρ {displaystyle v_{s}={sqrt {frac {mu }{ ho }}}}

где μ {displaystyle mu } — модуль сдвига (модуль жёсткости, иногда обозначается как G и также называется параметром Ламе), ρ {displaystyle ho } — плотность среды, через которую проходит волна. Из них видно, что скорость зависит от изменения μ.

Типичные значения для скоростей S-волн во время землетрясений находятся в диапазоне от 2,5 до 5 км/с. Скорость поперечной волны всегда меньше скорости продольной волны, что видно на сейсмограммах (рисунок 3). В отличие от Р-волны, S-волна не может проходить через расплавленное внешнее ядро Земли, и это приводит к существованию теневой зоны для S-волн. Но они ещё могут появиться в твёрдом внутреннем ядре, так как возникают при преломлении Р-волны на границе расплавленного и твёрдого ядра, что называется разрывом Леманн, возникающие S-волны затем распространяются в твёрдой среде. И затем S-волны преломляются по границе, и они снова в свою очередь создают P-волны. Это свойство позволяет сейсмологам определять свойства внутреннего ядра.

Преломление S-волны на границе двух упругих сред

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаем два непрерывных граничных условия

u ( r ) | S − = u ( r ) | S + , {displaystyle mathbf {u} (mathbf {r} )|_{S_{-}}=mathbf {u} (mathbf {r} )|_{S_{+}},} σ ^ n | S − = σ ^ n | S + , {displaystyle {hat {sigma }}{mathbf {n} }|_{S_{-}}={hat {sigma }}{mathbf {n} }|_{S_{+}},}

где n — вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности вектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон S + {displaystyle S_{+}} и S − {displaystyle S_{-}} на границе. Так же как и для Р-волны, для волны типа SV существует 4 типа волн, порождаемых падением волны SV на поверхность двух сред — это две преломлённые Р, SV волны и две отражённые Р, SV волны, но для падающей на границу двух сред SH волны этого не происходит, она не порождает волны другого типа поляризации, что и видно на рисунках 4, 5.

Преломление S-волны на границе среда-вакуум

В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий остаётся только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление на границу со стороны вакуума должно равняться нулю:

u ( r ) | S = 0. {displaystyle mathbf {u} (mathbf {r} )|_{S}=0.}

Тогда в случае SV-волны, где А — это амплитуда падающей волны, v s {displaystyle v_{s}} — скорость поперечной волны в среде, v p {displaystyle v_{p}} — скорость продольной волны в среде, i — угол отражения моды P от моды SV, j — угол отражения моды SV от моды SV, получаем k s p = A 2 v p / v s sin ⁡ 2 i cos ⁡ 2 j ( v p / v s ) 2 cos 2 ⁡ 2 j + sin ⁡ 2 j sin ⁡ 2 i , {displaystyle k_{sp}=A{frac {2v_{p}/v_{s}sin 2icos 2j}{(v_{p}/v_{s})^{2}cos ^{2}2j+sin 2jsin 2i}},}

k s s = A ( v p / v s ) 2 cos 2 ⁡ ( 2 j ) − sin ⁡ ( 2 j ) sin ⁡ ( 2 i ) ( v p / v s ) 2 cos 2 ⁡ ( 2 j ) + sin ⁡ ( 2 j ) sin ⁡ ( 2 i ) . {displaystyle k_{ss}=A{frac {(v_{p}/v_{s})^{2}cos ^{2}(2j)-sin(2j)sin(2i)}{(v_{p}/v_{s})^{2}cos ^{2}(2j)+sin(2j)sin(2i)}}.}

k s s {displaystyle k_{ss}} — это коэффициент отражения моды SV от моды SV, k s p {displaystyle k_{sp}} — это коэффициент отражения моды P от моды SV. Напишем теперь коэффициент отражения в случае волны SH, где А — это амплитуда падающей волны, v s {displaystyle v_{s}} — скорость поперечной волны в среде, j — угол отражения моды SH от моды SH и k s h − s h {displaystyle k_{sh-sh}} — это коэффициент отражения SH в SH:

k s h − s h = A , {displaystyle k_{sh-sh}=A,}

что говорит о том, что вся волна отражается при падении на свободную границу.