Гипотеза Каратеодори

Гипотеза Каратеодори — гипотеза, приписываемая Константину Каратеодори, которую Ганс Людвиг Гамбургер высказал на сессии Берлинского Математического Общества 1924. Каратеодори публиковал статьи на это тему, но никогда не приводил гипотезу в своих сочинениях. Джон Идензор Литлвуд в своей книге упоминает гипотезу и вклад Гамбургера как пример математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Ян Стройк описывает в своей статье формальную аналогию гипотезы с теоремой о четырёх вершинах для плоских кривых. Современные ссылки на гипотезу — список проблем Яу Шинтуна, книги Марселя Берже, а также книги Николаева, Стройка, Топоногова и Алексеевского, Виноградова, Лычагина.

Формулировка

Любая выпуклая замкнутая и достаточно гладкая поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве содержит по меньшей мере две точки округления.

Замечания

Например эллипсоид вращения имеет ровно две точки округления. При этом все точки сферы являются точками округления.

Частные результаты

Была заявка Стефана Кон-Фоссена на Международный конгресс математиков 1928 в Болонье и в издании 1929 года третьего тома книги «Дифференциальная геометрия» Вильгельм Бляшке писал:

Пока книга готовилась к печати Кон-Фоссен смог доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом > 2 (приглашённый доклад на ICM в Болонье 1928). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что поверхности дожны иметь по меньшей мере две омбилики.

Здесь индекс Бляшке равен удвоенному обычному индексу омбилической точкой и глобальная гипотеза следует из теоремы Пуанкаре о векторном поле. Никаких статей не было издано Кон-Фоссеном до Международного Конгресса, а в дальнейших переизданиях книги Бляшке вышеупомянутые комментарии были удалены. Отсюда логично сделать вывод, что работа была неубедительной.

Для аналитических поверхностей утвердительный ответ для гипотезы дал в 1940 Ганс Людвиг Гамбургер в длинной статье, опубликованной в трёх частях. Подход Гамбургера основывался также на оценке индексов изолированных омбилических точек, из которой, как он показал в более ранних работах, вытекает гипотеза Каратедори. В 1943 Джеррит Бол предложил более короткое доказательство (см. также Бляшке), но в 1959 Тилла Клотц нашла и исправила пробел в доказательстве Бола. Её доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ганспетера Шербела (никаких результатов, связанных с гипотезой Каратеодори, Шербел не опубликовал, по меньшей мере до июня 2009). Среди других публикаций следует упомянуть работы Титуса, Сотомайора и Мелло, Гутьереса.

Все упомянутые выше доказательства основываются на сведении Гамбургера гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс любой изолированной омбилической точки не превосходит единицы. Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении сингулярности, генерируемой точками округления. Все упомянутые выше авторы разрешают сингулярность индукцией по «степени вырождения» точки округления, но ни один из авторов не описал процесс индукции ясно.

В 2002 Владимир В. Иванов просмотрел работу Гамбургера по аналитическим поверхностям и написал следующее:

Во-первых, имея в виду аналитические поверхности, мы со всей ответственностью заявляем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это может быть строго доказано. В-третьих, мы намерены изложить здесь доказательство, которое, на наш взгляд, убедит любого читателя, если только он действительно готов преодолеть вместе с нами долгий и совсем не легкий путь.

Сначала он проследовал по пути, предложенному Герритом Болом и Тиллой Клотц, но позднее он предложил свой собственный путь разрешения сингулярности, в котором критическое значение принадлежит комплексному анализу (более точно, технике, использующей аналитические неявные функции, подготовительную теорему Вейерштрасса, ряд Пюизё и циркулярные системы корней).

В 2008 Гилфойл и Клингенберг объявили о доказательстве глобальной гипотезы для поверхностей гладкости C3,alpha. Их метод использует нейтральную кэлерову геометрию квартики Клейна, поток средней кривизны, теорему Римана — Роха об индексе и теорему Сарда — Смейла на регулярных значениях операторов Фредхольма. Однако их статья так и не была опубликована.

В 2012 Гоми и Ховард показали, используя преобразование Мёбиуса, что глобальная гипотеза для поверхностей с гладкостью C2 может быть переформулирована в терминах числа омбилических точек графиков некоторых асимптотик градиентов.