Интеграл Римана

Интеграл Римана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами Δ x i {displaystyle Delta x_{i}} будет интегральной суммой:

S = ∑ i f ( x i ) Δ x i . {displaystyle S=sum _{i}f(x_{i})Delta x_{i}.}

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из Δ x i {displaystyle Delta x_{i}} стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} определена вещественнозначная функция f {displaystyle f} .

Рассмотрим разбиение отрезка a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b {displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{n-1}<x_{n}=b} — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [ a , b ] {displaystyle [a,b]} на n отрезков [ x i − 1 , x i ] , i = 1 … n {displaystyle [x_{i-1},x_{i}],;i=1dots n} . Длина наибольшего из отрезков δ R = max ( Δ x i ) {displaystyle delta R=max(Delta x_{i})} называется шагом разбиения, где Δ x i = x i − x i − 1 {displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] {displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]} . Интегральной суммой называется выражение σ x = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i {displaystyle sigma _{x}=sum limits _{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}} .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] {displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]} , то это число называется интегралом функции f {displaystyle f} на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , то есть ∫ a b f ( x ) d x = lim δ R → 0 σ x {displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx=lim limits _{delta R o 0}sigma _{x}} .

В этом случае, сама функция f {displaystyle f} называется интегрируемой (по Риману) на [ a , b ] {displaystyle [a,b]} ; в противном случае f {displaystyle f} является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} .

Через суммы Дарбу

Свойства

Невырожденность: ∫ a b 1 d x = b − a {displaystyle int limits _{a}^{b}1,dx=b-a} .

Положительность: Если интегрируемая функция f {displaystyle f} неотрицательна, то её интеграл на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} также неотрицателен.

Линейность: Если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} интегрируемы, и α , β ∈ R {displaystyle alpha ,eta in mathbb {R} } , то функция α f + β g {displaystyle alpha f+eta g} тоже интегрируема, и ∫ a b ( α f ( x ) + β g ( x ) ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{b}(alpha f(x)+eta g(x)),dx=alpha int limits _{a}^{b}f(x),dx+eta int limits _{a}^{b}g(x),dx} .

Непрерывность: Если интегрируемые функции f i {displaystyle f_{i}} равномерно сходятся на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} к функции f {displaystyle f} , то f {displaystyle f} интегрируема, и lim i → ∞ ∫ a b f i ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle lim _{i o infty }int limits _{a}^{b}f_{i}(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx} . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).

Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть a < b < c {displaystyle a<b<c} . Функция f {displaystyle f} интегрируема на отрезке [ a , c ] {displaystyle [a,c]} , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [ a , b ] {displaystyle [a,b]} и [ b , c ] {displaystyle [b,c]} , при этом ∫ a c f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{c}f(x),dx=int limits _{a}^{b}f(x),dx+int limits _{b}^{c}f(x),dx} .

Если функция F {displaystyle F} является первообразной непрерывной функции f {displaystyle f} , то интеграл функции f {displaystyle f} на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F ( b ) − F ( a ) {displaystyle F(b)-F(a)} . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция f {displaystyle f} всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C {displaystyle F(x)=int limits _{a}^{x}f(t)dt+C} , где C {displaystyle C} — произвольная константа.

Условия существования интеграла Римана

Непрерывная на отрезке функция всегда интегрируема по Риману (следствие свойств 1—5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману

Функция интегрируема по Риману на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).

Другой критерий

Для того, чтобы функция f ( x ) {displaystyle f(x)} была интегрируемой на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , необходимо и достаточно, чтобы сумма ∑ i = 1 n ω i Δ i {displaystyle sum _{i=1}^{n}omega _{i}Delta _{i}} стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения d {displaystyle d} .

Здесь ω i {displaystyle omega _{i}} — колебание функции f ( x ) {displaystyle f(x)} в сегменте Δ i = [ x i − 1 , x i ] {displaystyle Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]} ,

колебание ω {displaystyle omega } функции f {displaystyle f} на множестве E {displaystyle E} — разность sup E f ( x ) − inf E f ( x ) {displaystyle sup _{E}f(x)-inf _{E}f(x)} , диаметр разбиения d = sup i ( x i − x i − 1 ) {displaystyle d=sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})} .

Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману

Ниже перечислены некоторые классы функций, для которых значение интеграла Римана всегда существует и конечно.

• Функции, непрерывные на отрезке [ a , b ] . {displaystyle [a,b].}
• Функции, ограниченные на [ a , b ] {displaystyle [a,b]} и имеющая на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва.
• Монотонные ограниченные функции.

История

Приведенное выше определение интеграла дано Коши, оно применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году, на русском языке впервые в 1914 году) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).