Интерполяционная формула Гаусса

Интерполяционная формула Гаусса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования x узлы. Если x = x 0 + t h {displaystyle x=x_{0}+th} , то формула

G 2 n + 1 ( x 0 + t h ) = f 0 + f 1 / 2 1 t + f 0 2 t ( t − 1 ) 2 ! + … + f 0 2 n t ( t 2 − 1 ) … [ t 2 − ( n − 1 ) 2 ] ( t − n ) ( 2 n ) ! , ( 1 ) {displaystyle G_{2n+1}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) over 2!}+ldots +f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n) over (2n)!},qquad (1)}

написанная по узлам x 0 ,   x 0 + h ,   x 0 − h , … ,   x 0 + n h ,   x 0 − n h {displaystyle x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh} , называется формулой Гаусса для интерполирования вперед, а формула

G 2 n + 1 ( x 0 + t h ) = f 0 + f − 1 / 2 1 t + f 0 2 t ( t + 1 ) 2 ! + … + f 0 2 n t ( t 2 − 1 ) … [ t 2 − ( n − 1 ) 2 ] ( t + n ) ( 2 n ) ! , ( 2 ) {displaystyle G_{2n+1}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) over 2!}+ldots +f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n) over (2n)!},qquad (2)}

написанная по узлам x 0 ,   x 0 − h ,   x 0 + h , … ,   x 0 − n h ,   x 0 + n h {displaystyle x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh} , называется формулой Гаусса для интерполирования назад. В формулах (1) и (2) использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

f i + 1 / 2 1 = f i + 1 − f i ,   f i m = f i + 1 / 2 m − 1 − f i − 1 / 2 m − 1 {displaystyle f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i}, f_{i}^{m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}}

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.