Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов P n λ ( x ; φ ) , λ > 0 , 0 < φ < π , n = { 0 , 1 , . . . } {displaystyle P_{n}^{lambda }(x;varphi ),;lambda >0,;0<varphi <pi ,;n={0,1,...}} , которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

Рекурсивное определение

P − 1 λ = 0 {displaystyle P_{-1}^{lambda }=0}

P 0 λ = 1 {displaystyle P_{0}^{lambda }=1}

n P n λ − 2 ( ( n − 1 + λ ) cos ⁡ φ + x sin ⁡ φ ) P n − 1 λ + ( n − 2 + 2 λ ) P n − 2 λ = 0 {displaystyle nP_{n}^{lambda }-2left((n-1+lambda )cos varphi +xsin varphi ight)P_{n-1}^{lambda }+(n-2+2lambda )P_{n-2}^{lambda }=0}

Свойства

• Симметричные многочлены Полачека ( P n λ ( x ; π / 2 ) ) {displaystyle left(P_{n}^{lambda }(x;pi /2) ight)} ортогональны на всей вещественной оси с весом:

1 2 π 2 2 λ Γ ( 2 λ ) | Γ ( λ + i x ) | 2 {displaystyle {frac {1}{2pi }}{frac {2^{2lambda }}{Gamma (2lambda )}}{|Gamma (lambda +ix)|}^{2}} , где Γ {displaystyle Gamma } — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

P n λ ( x ; π / 2 ) G ( λ , x ) = − 1 n n ! δ n G ( λ + n 2 ) {displaystyle P_{n}^{lambda }(x;pi /2)G(lambda ,x)={frac {{-1}^{n}}{n!}}delta ^{n}Gleft(lambda +{frac {n}{2}} ight)} , где G ( λ , x ) = Γ ( λ + i x ) Γ ( 1 − λ + i x ) e π x {displaystyle G(lambda ,x)={frac {Gamma (lambda +ix)}{Gamma (1-lambda +ix)}}e^{pi x}} — мероморфная функция, а δ {displaystyle delta } — оператор конечной разности ( δ F ) ( x ) = F ( x + i 2 ) − F ( x − i 2 ) {displaystyle (delta F)(x)=Fleft(x+{frac {i}{2}} ight)-Fleft(x-{frac {i}{2}} ight)}