Теорема о запрете клонирования

Теорема о запрете клонирования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 году и имела огромное значение в области квантовых вычислений, квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть запутанным с состоянием другой системы. Например, создать запутанное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT. Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Доказательство

Пусть мы хотим создать копию системы A, которая находится в состоянии | ψ ⟩ A {displaystyle |psi angle _{A}} (см. обозначения Дирака). Для этого возьмем систему B с тем же самым гильбертовым пространством, находящуюся в начальном состоянии | e ⟩ B {displaystyle |e angle _{B}} . Начальное состояние, конечно, не должно зависеть от состояния | ψ ⟩ A {displaystyle |psi angle _{A}} , поскольку это состояние нам неизвестно. Составная система A + B описывается тензорным произведением состояний подсистем:

| ψ ⟩ A ⊗ | e ⟩ B ≡ | ψ ⟩ A | e ⟩ B . {displaystyle |psi angle _{A}otimes |e angle _{B}equiv |psi angle _{A}|e angle _{B}.}

С составной системой можно произвести два различных действия.

Мы можем измерить её состояние, что приведет к необратимому переходу системы в одно из собственных состояний измеряемой наблюдаемой и к (частичной) потере информации об исходном состоянии системы A. Очевидно, такой сценарий нам не подходит.

Другая возможность заключается в применении унитарного преобразования U, должным образом «настраивая» гамильтониан системы. Оператор U будет клонировать состояние системы, если

U | ψ ⟩ A | e ⟩ B = | ψ ⟩ A | ψ ⟩ B {displaystyle U|psi angle _{A}|e angle _{B}=|psi angle _{A}|psi angle _{B}} и U | ϕ ⟩ A | e ⟩ B = | ϕ ⟩ A | ϕ ⟩ B {displaystyle U|phi angle _{A}|e angle _{B}=|phi angle _{A}|phi angle _{B}}

для всех | ϕ ⟩ {displaystyle |phi angle } и | ψ ⟩ . {displaystyle |psi angle .}

Согласно определению унитарного оператора, U сохраняет скалярное произведение:

⟨ e | B ⟨ ϕ | A U † U | ψ ⟩ A | e ⟩ B = ⟨ ϕ | B ⟨ ϕ | A | ψ ⟩ A | ψ ⟩ B , {displaystyle langle e|_{B}langle phi |_{A}U^{dagger }U|psi angle _{A}|e angle _{B}=langle phi |_{B}langle phi |_{A}|psi angle _{A}|psi angle _{B},}

то есть

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ 2 . {displaystyle langle phi |psi angle =langle phi |psi angle ^{2}.}

Из этого следует, что либо | ϕ ⟩ = | ψ ⟩ , {displaystyle |phi angle =|psi angle ,} либо состояния | ϕ ⟩ {displaystyle |phi angle } и | ψ ⟩ {displaystyle |psi angle } ортогональны (что в общем случае, конечно, неверно). Таким образом, операция U не может клонировать произвольное квантовое состояние.

Теорема о запрете клонирования доказана.

Неточное копирование

Хотя создание точных копий неизвестного квантового состояния невозможно, можно тиражировать его неточные копии. Для этого нужно привести исходную систему во взаимодействие с большей вспомогательной системой и провести специальное унитарное преобразование комбинированной системы, в результате которого несколько компонентов большей системы станут приблизительными копиями исходной. Такой процесс может быть использован для атаки на квантовые криптографические системы, а также для других целей в квантовых вычислениях.