Эффекты дифракции и уравнение Брэгга

Кристаллы представляют упорядоченную трехмерную структуру с характерной периодичностью, или периодами идентичности вдоль кристаллографических осей. Когда рентгеновский луч попадает на такое трехмерное расположение, он заставляет электроны на своем пути колебаться с частотой первоначального рентгеновского излучения. Эти колеблющиеся электроны поглощают часть энергии рентгеновского луча и, действуя как источник нового волнового фронта, испускают эту энергию в виде рентгеновского колебания той же частоты и длины волны. В общем случае рассеянные волны при интерференции уничтожают друг друга, но в некоторых, особых, направлениях они усиливают друг друга, производя кооперативный рассеивающий эффект, известный как дифракция. В ряду атомов, которые облучаются рентгеновскими лучами и расположены на равном расстоянии друг от друга, каждый атом может рассматриваться как центр излучения сферической волновой оболочки (рис. 3.3). Когда рассеянные волны интерферируют, усиливая друг друга, то образованные ими волновые фронты находятся в одной фазе и наблюдается дифракция. Рис. 3.4 показывает, что лучи 1 и 2 будут в фазе только в том случае, когда расстояние AB составляет целое число длин волн или, другими словами, когда AB = nλ = с cos Ф (где n представляет целые числа, такие как 0, 1, 2, 3, ..., n). Для конкретного значения nλ Ф — постоянно и положение всех возможных дифрагированных лучей будет представлено конусом, центральной осью которого является ряд рассеивающих точек. Поскольку рассеянные лучи будут в фазе для того же угла Ф с другой стороны падающего луча, то будет наблюдаться другой такой же, но обращенный конус с этой стороны (рис. 3.5). Для обоих конусов с n, равным 1, угол между осью конуса и образующей будет равен Ф (как на рис. 3.4). Если n = 0, то конус становится плоскостью, которая включает падающий луч. Чем больше значение n, тем больше значение cos Ф, и следовательно, тем меньше угол Ф и уже конус. У всех конусов одна и та же ось и вершины их расположены в той же точке, а именно в точке пересечения луча и ряда атомов.

В трехмерной решетке имеются три осевых направления, каждое со своим характерным периодом рассеивающих точек, и каждое способно породить свою собственную серию вложенных конусов с характерными углами при вершине. Дифракционные конусы от любых трех некомпланарных рядов рассеивающих атомов могут пересекаться или не пересекаться друг с другом, но только в том случае, когда все три пересекаются на общей линии, возникает дифрагированный луч (рис. 3.6). Это направление (показано стрелкой на рис. 3.6) представляет направление дифрагированного луча, которое может быть зарегистрировано на пленке или с помощью электроники. Геометрия этих трех пересекающихся конусов на рис. 3.6 может быть представлена тремя независимыми уравнениями (уравнениями Лауэ), в которых три осевых угла конуса (Ф1, Ф2, Ф3) определяют общее направление вдоль стрелки (линии пересечения трех конусов). Для того чтобы возник дифракционный эффект (пятно на фотопластинке или пленке), эти три геометрических уравнения должны удовлетворяться одновременно. Эти три уравнения называются по имени Макса фон Лауэ, который впервые сформулировал их.

Вскоре после публикации этих уравнений В.Л. Брэгг, работая над рентгеновской дифракцией в Англии, обнаружил, что хотя рентгеновские лучи действительно дифрагируются кристаллом, дифрагированные рентгеновские лучи ведут себя так, как если бы они отражались от плоскостей в кристалле. Однако, в отличие от отражения света, рентгеновские лучи не «отражаются» непрерывно от данной кристаллической плоскости. Используя конкретную длину волны λ, Брэгг показал, что «отражение» происходит от семейства параллельных плоскостей только при определенных условиях. Эти условия должны удовлетворять уравнению: nλ = 2d sinθ, где n — целое (1, 2, 3, ..., n), λ — длина волны, d — расстояние между последовательными параллельными плоскостями и θ — угол падения и «отражения» рентгеновского луча от данной атомной плоскости. Это уравнение, известное как закон Брэгга, выражает в более простой форме одновременное выполнение трех уравнений Лауэ.

Мы видели, что грани, которые с наибольшей вероятностью появляются на кристалле, параллельны атомным плоскостям с наибольшей плотностью узлов решетки. Параллельно каждой грани располагается семейство равноудаленных одинаковых плоскостей. Когда рентгеновский луч воздействует на кристалл, он проникает в него, и соответствующий дифракционный эффект происходит не от одной плоскости, а почти от бесконечного числа параллельных плоскостей, при этом каждая вносит небольшой вклад в общий дифракционный максимум. Для того чтобы дифракционный эффект имел достаточную для регистрации интенсивность, «индивидуальные отражения» должны быть в фазе друг с другом. В.Л. Брэггом были установлены условия, необходимые для взаимного усиления.

На рис. 3.7 линии р, р1 и р2 представляют следы семейства атомных плоскостей с расстоянием d. Рентгеновские лучи, падая на любую из этих плоскостей, будут отражаться под первоначальным углом θ, каково бы ни было значение θ. Однако для того чтобы усилить друг друга и дать отражение, которое можно зарегистрировать, эти «отраженные» лучи должны быть в фазе. Путь волн вдоль DEF, «отраженных» в Е, длиннее, чем путь волн вдоль ЛВС, «отраженных» в В. Если обе серии волн должны быть в фазе, то разница пути ЛВС и DEF должна составлять целое число длин волн (nλ). Нa рис. 3.7 BG и BH нарисованы перпендикулярно соответственно ЛВ и BC так, так AB = DG и BC = HF. Для удовлетворения условию, что обе длины волны должны быть в фазе, GE+EH должно быть равно целому числу длин волн. BE перпендикулярно линиям р и p1 и равно межплоскостному расстоянию d. В ΔGBE d sin θ = GE, а в ΔHBE d sin θ = EH. Таким образом, для совпадения по фазе и «отражения» GE EH = 2d sin θ = nλ.

Это уравнение, nλ = 2d sin θ, и есть уравнение Брэгга (уравнение Вульфа—Брэгга). Для данного межплоскостного расстояния (d) и данного λ «отражения» (дифракционные максимумы) наблюдаются только при тех углах 0, которые удовлетворяют этому уравнению. Предположим, например, что монохроматический рентгеновский луч параллелен спайной пластинке галита и пластинка установлена таким образом, что она может вращаться вокруг оси, составляющей прямой угол с рентгеновским лучом. По мере медленного вращения галита отражения не наблюдается до тех пор, пока первичный угол не образует угол θ, который удовлетворяет уравнению Брэгга с n=1. При продолжении вращения возникают дальнейшие «отражения», только когда удовлетворяется уравнение при конкретных углах θ с n 2, 3, 4, 5 и т. д. Они известны как «отражения» первого, второго, третьего порядка и т. д. Эти «отражения» являются в действительности дифракционными эффектами, которые возникают, когда три дифракционных конуса вокруг трех некомпланарных рядов атомов пересекаются по общей линии.