Кубическая сингония кристаллов

Кристаллографические оси. Кристаллические формы всех классов кубической сингонии описываются в системе из трех осей равной длины, которые образуют прямые углы друг с другом. Поскольку оси идентичны, они взаимозаменяемы и все обозначаются буквой а. При соответствующей ориентировке одна ось, а1, горизонтальная и ориентирована спереди назад, а2 — горизонтальная и направлена справа налево, а3 — вертикальная (рис. 2.133).

Символы форм. Хотя символ любой грани можно было бы использовать в качестве символа формы, если это возможно, применяется такой символ, в котором все h, k, l положительные. В тех формах, где две и более грани с h, k и l положительны, следуют правилу выбирать символ с h < k < l. Например, форма с гранью (123) содержит также грани с символами (132), (213), (231), (312) и (321). Следуя правилу, нужно выбирать в качестве символа формы {123}, так как в этом случае h < k< l.

Приводя угловые координаты формы, общепринято давать их только для одной грани, остальные могут быть определены, если известна симметрия. Грань, для которой эти координаты даются, — это такая, у которой наименьшие значения Ф и р. Это и есть грань формы, у которой h < k < l.

4/m 3 2/m — гексоктаэдрический класс

Симметрия — 3A4, 4А3, 6А2, 9m(3L44L663L92PC). Три кристаллографические оси являются 4-ными поворотными осями (рис. 2.134, a). Четыре диагональные 3-ные инверсионно-поворотные оси. Эти оси выходят в середине каждого октанта, образованного пересечением кристаллографических осей (рис. 2.134, б). Кроме того, есть шесть диагональных 2-ных поворотных оси, каждая из которых, как показано на рис. 2.134, в, делит пополам один из углов между двумя кристаллографическими осями. Есть также центр симметрии.

В этом классе девять зеркальных плоскостей: три из них известны как осевые плоскости, так как каждая из них включает две кристаллографические оси (рис. 2.135, a), a шесть называются диагональными, поскольку они делят пополам углы между двумя осевыми плоскостями (см. рис. 2.135, б). Эта комбинация элементов симметрии определяет наивысшую симметрию,

возможную в кристалле. Каждая кристаллическая форма и каждая комбинация форм, принадлежащих этому классу, должна проявлять его полную симметрию. Важно помнить, что в этом классе три кристаллографические оси являются 4-ными поворотными осями. По ним можно легко установить кристаллографические оси и соответственно сориентировать кристалл.

На рис. 2.136 показаны гексоктаэдр и его стереограмма — эта общая форма, по которой класс получил свое название.

Формы.

1. Куб, или гексаэдр {001}. Куб состоит из шести квадратных граней, образующих друг с другом углы 90°. Каждая грань пересекает одну из кристаллографических осей и параллельна двум другим (рис. 2.137).

2. Октаэдр {111}. Октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольных граней, каждая из которых одинаково пересекает все три кристаллографических оси. На рис. 2.138 представлен простой октаэдр, а на рис. 2.139 показаны комбинации куба и октаэдра. В комбинации октаэдр можно распознать по его восьми одинаковым граням, каждая из которых одинаково наклонена к трем кристаллографическим осям. Следует обратить внимание на то, что грани октаэдра симметрично срезают углы куба.

3. Ромбододекаэдр (или додекаэдр) {011}. Ромбододекаэдр состоит из 12 ромбических граней. Каждая из граней одинаково пересекает две кристаллографические оси и параллельна третьей. На рис. 2.140 показан простой ромбододекаэдр. На рис. 2.141 приведены комбинации ромбододекаэдра и куба, ромбододекаэдра и октаэдра, а также куба, октаэдра и ромбододекаэдра. Обратите внимание на то, что грани ромбододекаэдра срезают ребра как куба, так и октаэдра. Додекаэдр иногда называют ромбододекаэдром для того, чтобы отличить его от пентагондодекаэдра и правильного геометрического додекаэдра.

4. Тетрагексаэдр {okl}. Тетрагексаэдр, или пирамидальный к у б, состоит из 24 равносторонних треугольных граней, каждая из которых пересекает две оси на разных расстояниях и параллельна третьей. Существует ряд тетрагексаэдров, которые отличаются друг от друга наклоном граней. Самый обычный {012}. Индексы остальных форм {013}, {014}, {023} и т. д., или в общем виде {old}. Полезно заметить, что тетрагексаэдр, как показывает его название, напоминает куб, каждая из граней которого как бы приподнимается в центре для того, чтобы совпасть с четырьмя соседними. На рис. 2.142 показан простой тетрагексаэдр, а на рис. 2.143 изображен куб, с ребер которого снята фаска гранями тетрагексаэдра.

5. Tетрагон-триоктаэдр (трапецоэдр) {hhl}. Тетрагон-триоктаэдр состоит из 24 трапецевидных граней, каждая из которых пересекает две оси, образуя равные отрезки, а на третьей — другой отрезок. Существуют различные тетрагон-триоктаэдры, грани которых имеют разные углы наклона, но наиболее обычный — это {112} (рис. 2.144). Эта форма называется тетрагон-триоктаэдром для того, чтобы показать, что каждая из ее граней имеет четыре ребра, и для того, чтобы отличить ее от другой 24-гранной формы, тригон-триоктаэдра.

На рис. 2.145 изображен обычный тетрагон-триоктаэдр n {112}, срезающий ребра ромбододекаэдра. Обе формы в отдельности и вместе обычны в минерале гранате.

6. Тригон-триоктаэдр (триоктаэдр) {hll}. Тригон-триоктаэдр состоит из 24 равнобедренных треугольных граней, каждая из которых на одинаковом расстоянии пересекает две кристаллографические оси, а третью — на другом. Грани различных тригон-триоктаэдров имеют разный наклон, но наиболее обычный — {122} (рис. 2.146). Тригон-триоктаэдр, как и тетрагон-триоктаэдр, можно представить себе как октаэдр, каждая грань которого как бы приподнята в центре для совпадения стремя соседними. Название указывает, что его грани имеют по три ребра и, таким образом, отличаются от граней тетрагон-триоктаэдра. На рис. 2.147 показана комбинация октаэдра и тригон-триоктаэдра.

7. Гексоктаэдр {hkl}. Гексоктаэдр состоит из 48 треугольных граней, каждая из которых пересекает все три кристаллографических оси, давая разные отрезки. Существуют разные гексоктаэдры, у которых различные отношения осевых отрезков. Распространенный гексоктаэдр имеет индексы {123}. Другие гексоктаэдры имеют индексы {124}, {135} и т. д., или в общем виде {hkl}. На рис. 2.148 показан простой гексоктаэдр, а на рис. 2.149 — комбинация ромбододекаэдра и гексоктаэдра (а) и комбинация ромбододекаэдра, тетрагон-триоктаэдра и гексоктаэдра (б).

Определение индексов форм. При определении форм, присутствующих на любом кристалле гексоктаэдрического класса, прежде всего необходимо найти кристаллографические оси (оси 4-ной симметрии). Как только кристалл сориентирован но этим осям, грани куба, ромбододекаэдра и октаэдра легко распознаются, так как они пересекают соответственно одну, две или три оси на равных расстояниях. Быстро можно получить индексы граней других форм, которые симметрично срезают ребра между гранями. Алгебраическая сумма индексов h, k, l двух граней дает индексы грани, сниметрично срезающей ребро между ними. Так, на рис. 2.150 алгебраическая сумма двух ромбододекаэдрических граней (101) и (011) равна (112), или индексу грани тетрагон-триоктаэдра.

Встречаемость простых форм в гексоктаэдрическом классе. Куб, октаэдр и ромбододекаэдр — это наиболее распространенные формы. Тетрагон-триоктаэдр также часто наблюдается как единственная форма небольшого числа минералов. Другие формы — тетрагексаэдр, тригон-триоктаэдр и гексоктаэдр — редки и обычно наблюдаются только как небольшие срезы в комбинациях.

В гексоктаэдрическом классе кристаллизуется большая группа минералов. Среди наиболее распространенных минералов

43m — гексатетраэдрический класс

Симметрия — 3A4, 4А3, 6m(3L424L36P). Три кристаллографические оси являются 4-пыми инверсионно-поворотными осями. Четыре диагональные оси — это 3-ные поворотные оси (рис. 2.151, а). Имеются шесть диагональных зеркальных плоскостей (рис. 2.151, б), те же плоскости показаны на рис. 2.135, б для гексоктаэдрического класса. Общая форма — гексатетраэдр показана на рис. 2.152.

Формы. 1. Тетраэдр положительный {111}, отрицательный {111}. Тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольных граней, каждая из которых пересекает все кристаллографические оси, давая отрезки равной длины. Его можно рассматривать как полученный из октаэдра гексоктаэдрического класса, если пропустить чередующиеся грани и развить оставшиеся, как это показано на рис. 2.153. Эта форма, изображенная также на рис. 2.154, а, называется положительным тетраэдром {111}. Если бы были развиты другие четыре грани октаэдра, то получившийся тетраэдр имел бы другую ориентировку, как это показано на рис. 2.154, б. Это отрицательный тетраэдр {111}. Геометрически положительный и отрицательный тетраэдры идентичны. Эти два вида нужно различать, так как они могут ветречаться вместе (см. рис. 2.154, в) Если положительный и отрицательный тетраэдры одинаково развиты на одном и том же кристалле, то эту комбинацию невозможно отличить от октаэдра, если только, как это часто случается, грани обеих форм не проявляют разный блеск, травление или штриховку, что помогает их различать.

2. Tригон - тритетраэдр положительный {hhl}, отрицательный {hhl}. Эти формы имеют по 12 граней (рис. 2.155), которые отвечают половине граней тетрагон-триоктаэдра, взятых поочередно группами — три верхних и три нижних. Положительную форму можно сделать отрицательной поворотом на 90° вокруг вертикальной оси.

3. Тетрагон-тритетраэдр (дельтоиддодекаэдр) положительный {hll}, отрицательный {hll}. Это двенадцатигранная форма, грани которой отвечают половине граней тригон-триоктаэдра (из гексоктаэдрического класса), взятых чередующимися группами по три сверху и три снизу (рис. 2.156).

4. Гексатетраэдр положительный {hkl}, отрицательный {hkl} Гексатетраэдр имеет 24 грани (рис. 2.157), которые отвечают половине граней гексоктаэдра, взятых группами по шесть сверху и шесть снизу.

В гексатетраэдрическом классе присутствуют также куб, додекаэдр и тетрагексаэдр. На рис. 2.158 показана комбинация куба и тетраэдра (п), тетраэдра и ромбододекаэдра (б) и комбинация куба, ромбододекаэдра и тетраэдра (в). На рис. 2.159 показана комбинация тетраэдра и тригон-тритетраэдра.

Члены ряда теннантит — тетраэдрит (Cu, Fe, Zn, Ag) Sb4S13 до (Cu, Fe, Zn, Ag)12As4S13 — это единственные распространенные минералы, которые обычно дают отчетливые гексатетраэдрические формы. На сфалерите ZnS они также иногда проявляются, но обычно его кристаллы сложные и плохо образованные.

432 — триоктаэдрический класс

Симметрия — 3А4, 4A3, 6A2 (3L44L36L2). Триоктаэдрический класс содержит все оси гексоктаэдрического класса, но без его зеркальных плоскостей и центра симметрии (рис. 2.160).

Формы. Пентагонтр и октаэдр (гироид) правый {hkl}, левый {khl}. Каждая из этих двух форм содержит по 24 грани. Они образуют правостороннюю и левостороннюю энантиоморфные фигуры (см. рис. 2.160). В триоктаэдрическом классе могут присутствовать все формы гексоктаэдрического класса, за исключением гексоктаэдра.

Многие годы куприт считался представителем этого класса, но недавно исследования показали, что его, по-видимому, следует отнести к гексоктаэдрическому классу. После этого исключения не известен ни один минерал, кристаллизующийся в триоктаэдрическом классе.

2/m 3 — дидодекаэдрический класс

Симметрия — 3A2. 4A3, 3m(3L24L633PC). Три кристаллографические оси являются двойными поворотными осями, четыре диагональные оси, каждая из которых выходит в середине октанта, — это 3-ные инверсионно-поворотные оси; три осевые плоскости являются зеркальными плоскостями (рис. 2.161, а и б). Рис. 2.162 иллюстрирует положительный дидодекаэдр и его стереограмму.

Формы. I. Пентагон-додекаэдр, или пиритоэдр, положительный {hol}, отрицательный {okl}. Эта форма состоит из двенадцати граней в виде пятиугольников, каждый из которых пересекает одну кристаллографическую ось на одном, другую ось на другом расстоянии и параллелен третьей оси. Поворот на 90° вокруг кристаллографической оси переводит положительный пентагон-додекаэдр в отрицательный. Существует ряд пентагон-додекаэдров, которые отличаются друг от друга по наклону их граней. Наиболее обычный положительный пентагон-додекаэдр имеет индексы {102} (рис. 2.163, а). На рис. 2.163, б показан соответствующий отрицательный пентагон-додекаэдр.

2. Дидодекаэдр (диплонд) положительный {hkl}, отрицательный {khl}. Дидодекаэдр — это редкая форма, состоящая из 24 граней, отвечающих половине граней гексоктаэдра. Дидодекаэдр можно изобразить как пентагондодекаэдр, каждая грань которого превращена в две. Как в случае пентагон-додекаэдра, поворот на 90° вокруг одной из кристаллографических осей переводит положительный дидодекаэдр в отрицательный.

Кроме пентагон-додекаэдра и дидодекаэдра могут присутствовать куб, ромбододекаэдр, октаэдр, тетрагон-триоктаэдр и тригон-триоктаэдр. На некоторых кристаллах могут появляться только эти формы, настолько хорошо развитые, что их нельзя отличить от форм гексоктаэдрического класса. Это часто справедливо для кубов и октаэдров пирита. Однако на них обычно заметно присутствие штриховки или фигур травления, которые согласуются с симметрией дидодекаэдрического класса. Это показано на рис. 2.164, представляющем куб пирита с характерной штриховкой, выявляющей более низкую симметрию. На рис. 2.165 показана комбинация пентагон-додекаэдра с формами гексоктаэдрического класса. На рис. 2,166 представлена комбинация куба и дидодекаэдра {124}.

Главным минералом в дидодекаэдрическом классе является пирит, FeS2, другие более редкие минералы этого класса — скуттерудит, хлоантит, герсдорфит и сперрилит.

23 — тритетраэдрический класс

Симметрия — 3А2, 4А3 (3L24L3). Три кристаллографических оси являются двойными поворотными осями, а четыре диагональные оси — осями 3-ной симметрии. На рис. 2.167 показаны чертежи положительного левого и положительного правого пентагон-тритетраэдра и стереограмма положительной правой формы.

Формы. Существуют четыре отдельные формы пентагон-тритетраэдра (тетартоида), а именно: положительная правая {hkl}, положительная левая {khl}, отрицательная правая {khl}, отрицательная левая {hkl}. Они включают две энантиоморфные пары — положительные правая и левая, отрицательные правая и левая. Другими формами, которые могут присутствовать, являются куб, ромбододекаэдр, пентагон-додекаэдр, тетраэдр и тетрагон-тритетраэдр.

Наиболее распространенными представителями минералов, кристаллизующихся в тритетраэдрическом классе, являются кобальтин (Co, Fe) AsS и ульманит NiSbS.

Характеристики кубических кристаллов

Для всех кубических классов характерно наличие четырех 3-ных осей симметрии. Симметрично развитые кристаллы имеют одинаковые размеры по трем направлениям кристаллографических осей. Грани кристаллов обычно представлены квадратами, равносторонними треугольниками или теми же фигурами со срезанными углами. Все формы закрытые. Для кристаллов характерно, таким образом, большое число одинаковых граней, наименьшее число форм — шесть в гексоктаэдрическом классе.

Ниже приведены некоторые важные межгранные углы в кубической системе, которые могут помочь в определении наиболее распространенных форм:

куб (100) A куб (010) = 90° 00',

октаэдр (111) A октаэдр (111)= 70° 32',

ромбододекаэдр (011) A ромбододекаэдр (101) = 60° 00',

куб (100) A октаэдр (111) = 54° 44',

куб (100) A ромбододекаэдр (110) = 45° 00',

октаэдр (111) A ромбододекаэдр (110) = 35° 16'.