Логбиномиальное распределение элементов в геологических условиях

Для описания распределения элементов в породах были предложены различные модели. Хотя при геохимических исследованиях и оценке рудных запасов наиболее часто используется логнормальная модель, было установлено, что тесно связанная с ней логбиномиальная модель, предложенная Де Вейсом, дает лучшее согласие с эмпирическими распределениями при очень больших вероятностных интервалах (для значений признака, выходящих за пределы трех стандартных отклонений). Дополнительным преимуществом этой модели является то, что она позволяет легко получить отмеченные выше качественные выводы, следующие из результатов геохимических исследований, а также касающиеся размещения и распределения рудных месторождений.

В этой модели геологическая среда (R) рассматривается как неоднородная смесь данного элемента при заданной средней его концентрации (Х < 1) с вмещающим веществом, состоящим из всех остальных элементов.

При целении исходного объема геологической среды на две равные части концентрация данного элемента в этих частях может оказаться как одинаковой, так и различной. При средней концентрации данного элемента, равной X, распределение металла между двумя полученными объемами можно представить слагаемыми в правой части следующего уравнения:

Легко увидеть эквивалентность данного математического выражения основному результату гипотетического рудообразующего процесса в случае равенства объемов областей выноса и накопления в геологической среде.

В этом выражении значение q1,1 представляет собой эффективность данного процесса по отношению к выделению этого частного элемента из его вмещающей среды. Таким образом, значение q1,1 является непосредственной мерой "удельной способности к концентрации" элемента при данном процессе. При q1,1 = О концентрации в обеих частях вметающей среды будут равными и данный процесс не будет рудообразующим для данного элемента. При q1,1 = 1 данный элемент полностью переместился бы из одной части в другую.

При повторном разделении каждой из полученных частей надвое мы получим следующее распределение металла между ними:

Можно показать, что, непрерывно продолжая процесс целения, мы будем получать концентрации во все более широком диапазоне значений при явной тенденции к группировке большинства из них в центре распределения. Перенесенный в трехмерное геологическое пространство такой процесс привел бы к формированию рудных провинций и районов, а концентрация Xi стала бы пространственной переменной в том смысле, как это понимает Матерой.

При q1,1 = q2.1= q2,2 концентрации и количество металла во втором и третьем членах уравнения (2) будут одинаковыми. Однако эти равные концентрации скорее всего могли быть результатом процессов, протекающих в различное время и в различных местах. Выбирая случайные значения qi,j в окрестности среднего значения Q и строя гистограмму логарифмов рассчитанных таким образом значений концентрации (сгруппировав их в i+1 интервалов), обычно получают кривую, хорошо описываемую кривой биномиального распределения i-го порядка (i больше 8). Точки функции распределения, рассчитанные непосредственно по найденным значениям концентраций и соответствующим им вероятностям, с некоторым разбросом ложатся на кривую распределения, полученную по сгруппированным данным и проведенную через точки, соответствующие серединам интервалов группирования.

Таким образом, заменив различные значения qij их средним значением Q, можно описать распределение концентраций данного элемента в геологической среде следующим общим выражением:

где а - рациональное число, определяющее порядок целения исходного объема геологической среды на части; k - целое число 0, 1, 2, ..., N (a = l < W < a).

Рассматривая верхний слой земной коры, для которого средние концентрации элементов могут считаться хорошо известными, как вмещающую среду для месторождений, а суммарные запасы, соответствующие месторождениям с данными средними значениями размеров и содержаний, - как меру вероятности их встречи в этой среде, можно не только произвести оценку значения Q, но и рассчитать вероятность встречи запасов для всех возможных соотношений ''размер — среднее содержание". Сделав следующий шаг, можно оценить стоимость разведки и эксплуатации таких запасов как функцию частоты в встречаемости, размеров и среднего содержания. Результаты подобных расчетов для урана показаны на фиг. 1. В основу расчетов были положены запасы урана, опубликованные по состоянию на 1 января 1971 г., которые в основном были подтверждены официальной оценкой запасов, данной в объединенном отчете OECD МАГАТЭ в августе 1973 г. Нeобходимо иметь в виду, что цены в долларах указаны в соответствии со старым курсом: 35 американских долларов за унцию золота. Расчеты выполнены по программе M1M1C. Отметим, что использование при расчетах значений X и Q для меди, свинца, цинка и золота позволяет без изменения каких-либо экономических параметров модели получить для этих элементов хорошие оценки эксплуатационных расходов и запасов. По полученным результатам с помощью нелинейного многомерного регрессионного анализа связи между Х, Q и ценой было показано, что различия в долговременных средних ценах на эти металлы почти на 30% определяются их средними концентрациями в верхнем слое земной коры и их удельной способностью к концентрации Q. Фиг. 2 иллюстрирует эту связь, которую недавно распространили также на ртуть, молибден, сурьму и марганец.

Долговременная средняя цена (P) в американских долларах (по курсу 1971 г.) за 1 кг содержащегося в руде металла для этих элементов приблизительно на 30% определяется уравнением

Интересно отметить, что Де Вейс определил величину удельной способности к концентрации для меди, свинца и цинка в гидротермальных жильных месторождениях этих металлов равной 0,2, а для золота 0,35-0,45. Геохимическая съемка русловых отложений, проведенная в 1962 г. группой прикладной геохимии при Объединенном исследовательском центре Евратома в районе Осло, Норвегия, установила величины Q для меди, цинка и свинца, равные соответственно 0,197; 0,226 и 0,319. Это позволяет ожидать, что близкие значения величин удельной способности к концентрации будут получены во всем диапазоне соотношения размер -среднее содержание, характеризующего скопление этих элементов. Они должны быть справедливы как для региональных поисков на площадях 100 тыс. км и более, когда каждая проба может охватывать площадь в 10-100 км2, так и при опробовании рудных месторождений, когда каждая проба может представлять несколько тонн вещества.

Фиг. 3 иллюстрирует соотношения размер — среднее содержание для скоплений элемента с удельной способностью к концентрации Q=0,2 (уран, медь) в пределах верхнего слоя земной коры. В качестве среды, вмещающей рудные месторождения, взят объем, соответствующий 150 млн. км2 поверхности суши до глубины 2,5 км. При удельном весе 2,7 этот объем вмещает 10в18 горных пород.

Стандартное отклонение σ логарифмов концентраций металла зависит от величины Q, а также от порядка деления исходной среды (α) и определяется выражением

Оценка стандартного отклонения может быть произведена обычным способом по результатам геохимических исследований, бурения или других методов опробования:

где n — число проб; хi — концентрация в i-й пробе; у — медианное значение концентраций; Wi — вес i-й пробы.

Медианное значение концентраций у дается выражением

и может быть оценено по результатам исследований по формуле

Порядок деления исходной среды оценивается по соотношению веса пробы и веса опробованной среды:

где W — вес среды, a w — средний вес пробы;

Из уравнения (9) следует

Если известны σ, γ и α, величина удельной способности к концентрации Q может быть с учетом уравнения (5) определена по формуле

Для каждого значения α могут быть оценены максимальное и минимальное возможные значения концентрации:

Все значения, выходящие за эти пределы, следует считать действительно аномальными и не характерными для данного ряда концентраций и веса отобранных проб.

Рудные скопления, соответствующие заштрихованной на фиг. 3 области возможных запасов руды, определяются вертикальными линиями, проведенными для значений концентрации от у + 5 σ до у + 7σ, и грубо могут быть разбиты на три группы: большие месторождения: 3*10-1*10 т руды (30 < α < 35); средние месторождения: 1*10в6 - 3*10в7 т руды (35 < а < 40); небольшие месторождения: <1*10в6 т руды (α больше 40).

При Q=0,2 концентрация элемента в рудном скоплении должна превышать среднее содержание в земной коре в 130 раз (что соответствует концентрации = 400 млн U).

Это, конечно, не означает, что для элементов с высокими средними концентрациями в земной коре (0,007) величина Q должна быть меньше чем 0,2. Это означает лишь, что существует верхний предел концентрации, при котором среда в области обогащения становится насыщенной. Теоретически это условие достигается для всех элементов при концентрации 1. Ka практике эта граница устанавливается содержанием элемента в его наиболее распространенном рудном минерале. В таких насыщенных средах (например, в большинстве железорудных месторождений) значения концентрации уже не распределяются логбиномиально, а значение Q, рассчитанное для таких месторождений, не может представить вмещающую среду в целом. Для урана при средней концентрации 3 млн-1 ее значения в возможных рудных месторождениях изменяются от 400 млн-1 до 3%, тогда как предельная концентрация определяется содержанием урана в урановой смолке (85% U).

На фиг. 3 показана гипотетическая региональная геохимическая съемка на площади S = 10 000 км2, при которой отдельные пробы представляют независимые площади со средним размером s = 15 км2.

Площадь исследования S = 10 000 км2 представляет собой один из общего возможного количества (2° = 15 000) участков такой площади со средними значениями концентрации урана, варьируюшими между крайними значениями Xmax = X (1 + Q)f и Xmin = X (1-Q)α.

При Q = 0,2 потенциально благоприятными для нахождения урановых месторождений могут считаться только те площади, средняя концентрация урана в которых по крайней мере в 5 раз превышает среднюю концентрацию в земной коре, т.е. составляет величину не меньше чем 15 млн-1. Отдельные площади, играющие роль проб (α=23,22), могут рассматриваться как перспективные только при концентрации, в 30 раз превышающей среднюю в земной коре.

При региональных исследованиях находят очень немного площадей такого размера со столь высоким средним содержанием урана, но в связи с относительной редкостью урановых месторождений это совсем не является неожиданным. Однако для района размером S высокая удельная способность к концентрации также могла бы привести к формированию промышленных скоплений минерализации. На рисунке видно, что при региональном среднем содержании урана, равном среднему содержанию в земной коре (3 млн-1), удельная способность к концентрации по крайней мере должна бы быть 0,267, а благоприятные индивидуальные площади в этом случае должны содержать не менее 30 млн -1U.

Благоприятность данной площади для нахождения на ней возможных месторождений зависит не только от X и Q, но и от относительных размеров этой площади и вмещающей среды в целом. Эквивалентность X и Q по отношению к перспективности площади видна из выражения (4). Обозначив символом PR среднюю цену за длительный период времени, соответствующую среднему содержанию XR элемента в земной коре и удельной способности к концентрации QR, найденной по данным о запасах этого элемента, введем предположительную цену PS, соответствующую удельной способности к концентрации Q и среднему содержанию XS, найденным по результатам региональной съемки на площади S. Разведочная площадь, для которой PR f Ps больше 1, очевидно, характеризуется более благоприятными условиями для нахождения в ее пределах рудных месторождений, чем произвольно выбранная площадь размером S . Минимальная величина этого отношения, которая могла бы служить индикатором наличия рудных месторождений, зависит от соотношения размеров площади S и вмещающей среды в целом. Из фиг. 3 видно, что при взаимной эквивалентности Q и X, выражаемой уравнением (4), отношение PR/PS должно быть не меньше чем (1 + Q)α-5.

С учетом сказанного выше можно ввести безразмерный индекс перспективности площади FS, определяемой следующим выражением:

Только значения FS больше 1 могли бы предварительно указывать на потенциальную рудоносность площади. Однако на практике опробование таких больших площадей будет связано с рядом ошибок опробования, анализа и просто статистических, часть которых может иметь систематический характер и в силу ряда объективных и субъективных причин не поддаваться контролю или корректировке со стороны исследователя. Таким образом, для интерпретации результатов съемки почти всегда будет необходимо заключение эксперта. В этой связи можно сформулировать несколько правил:

A. При проведении региональных съемок наиболее представительные пробы обычно могут быть получены из современных русловых отложений. Здесь самой природой в значительной степени решена проблема пропорциональной представительности всех частей опробуемого дренируемого бассейна.

Б. Вклад даже прекрасно обнаженного среднего месторождения урана в концентрацию урана, характеризующую региональную пробу, мал по сравнению с общим вкладом окружающих вмещающих пород. Поэтому при региональных исследованиях потоки рассеяния, обусловленные рудной минерализацией, обычно не выявляются.

B. Чтобы обеспечить достаточную вертикальную представительность на площади съемки, необходимо соблюдение некоторых геологических условий, а отдельные пробы должны быть представительными для средних дренажных бассейнов площадью по крайней мере 6 км. Максимально можно взять только S/s независимых проб, где размер пробы s зависит от дренажной сети.

Г. Статистическая ошибка для индивидуальных проб значительно больше, чем для регионального среднего, поскольку обычно значения Q для отдельных проб неизвестны.

Д. Большинство региональных исследований не выявит рудного потенциала для какого-либо отдельно взятого металла.

Е. Из-за низкой плотности сети точек опробования и связанной с этим, как правило, высокой стоимости опробования следует рекомендовать проведение комплексных исследований на большое число элементов. Это не только уменьшит затраты на 1 км 2 поисков в расчете на отдельный элемент и увеличит возможности обнаружения той или другой металлоносности, но также сделает возможным установить загрязнение русловых отложений за счет человеческой деятельности.

По мнению автора, основанному на его, возможно ограниченном, личном опыте работ в условиях тропического и умеренного климата, такие региональные геохимические съемки отражают металлогенический характер исследованных площадей много лучше, чем это вообще считается, и пропуск потенциальных запасов руды при этих съемках маловероятен.