Графики для определения напряжений в грунтовой толще

На ранних этапах развития механики грунтов при необходимости установить величину напряжений, возникающих в толще грунта под воздействием нагрузки, приложенной к поверхности толщи от фундаментов или веса земляных насыпей, использовали следующую методику. Площадь поверхности грунта в подошве фундаментов разбивалась на ряд участков квадратной формы. Число их должно было быть достаточно велико для того, чтобы допустить замену равномерной нагрузки, действующей по площади квадратов, сосредоточенной нагрузкой, приложенной в его центре. Напряжения, вызванные такой сосредоточенной нагрузкой в любой точке в грунтовой толще, определялись с помощью уравнений (9.3) и (9.5). Расчеты повторяли для всех квадратов, и напряжения, возникшие в некоторой точке толщи от каждого сосредоточенного груза, складывались. Нет нужды отмечать, что этот путь определения напряжений требовал много времени и был чрезвычайно трудоемким. Для того чтобы облегчить проведение этой операции, было разработано несколько типов вспомогательных расчетных графиков. Существуют два основных типа таких графиков.

На рис. 9.17 и 9.18 приведены расчетная схема и график первого типа. Этот график позволяет определить вертикальное напряжение σz на глубине z ниже угла А прямоугольного фундамента шириной b и длиной а, равномерно нагруженного при величине удельной нагрузки р. Выделим бесконечно малый квадрат площадью (da*db), показанный на рис. 9.17. Давление, действующее на этот малый квадрат, может быть заменено сосредоточенной нагрузкой dP, приложенной по центру этого квадрата, так что

Увеличение вертикального напряжения σz от приложения нагрузки dP может быть выражено уравнением (9.3), переписанным в виде:

Напряжение σz, вызванное давлением р по всему прямоугольнику а*b, можно тогда получить интегрированием, сочетая уравнения (9.9) и (9.10) при выражении da, db и r через углы φ и ψ:

Решение уравнения (9.11) может быть представлено в нескольких видах. Штейнбреннер опубликовал следующее решение:

На рис. 9.18 уравнение (9.12) представлено в графической форме. Этот график может быть использован для определения напряжения σz в любой точке основания. Он может также служить в качестве иллюстрации влияния на величину напряжения размеров прямоугольника по величине отношения a/b его длины к ширине.

График, изображенный на рис. 9.18, достаточно удобен для определения напряжений как для случаев, когда нагрузка распределена по непрерывной площади, например под фундаментными плитами и лентами, так и для случаев, когда нагрузка приложена к изолированным прямоугольным площадкам. Вместе с тем для определения напряжений под фундаментом, представленным большим числом отдельных опор, более удобным оказывается график, предложенный Ньюмарком. Использование этого графика основано на следующем принципе. Вертикальное нормальное

напряжение σz на глубине z под центром круглой равномерно нагруженной площадки радиусом r равно:

где р — удельная нагрузка на круглую площадку.

Вывод этого уравнения дается в работе Тимошенко. Оно может быть приведено к виду:

Следует отметить, что когда r = 00, σz/p=-1, т. е. σz=-р. Из уравнения (9.14) можно определить величину отношения r/z, для которого σz/р = 0,8. Для этого случая уравнение (9.14) дает r/z=l,387. Выбрав некоторый определенный масштаб, например представив глубину z, как показано на рис. 9.19, в виде отрезка OQ, умножив его на 1,387, получим длину радиуса r0,8, который соответствует σz/р=0,8. Вычерчиваем этим радиусом окружность. Эта процедура затем может быть повторена для других значений σz/p, например для отношения σz/p, равного 0,6 и 0,4, как показано на рис. 9.19. Полученная таким образом диаграмма отвечает единичной удельной нагрузке на поверхности (р=1). Следовательно, вертикальное напряжение σz будет равно 0,8, если весь участок в форме круга радиусом r0,8 будет загружен p=1. Если нагруженным р=1 будет только кольцо, заключенное между r0,8 и r0,6, то σz=0,8—0,6=0,2. Каждое кольцо на рис. 9.19 разделено на 10 равных участков. Следовательно, нагрузка р=1, показывающая один из этих участков, будет создавать вертикальное элементарное напряжение σz=0,1*0,2=0,02. Другими словами, влияние на величину напряжения каждого нагруженного участка отвечает 0,02. Для значений р, отличных от единицы, «величина влияния» 0,02 каждого нагруженного участка должна быть умножена на действительное значение р.

Процедура использования диаграммы Ньюмарка состоит в следующем. План фундамента вычерчивается на кальке в таком масштабе, что длина OQ диаграммы соответствует глубине z, для которой определяется напряжение σz (для каждой из различных глубин г делается свой чертеж). Затем калька с планом фундамента накладывается на диаграмму таким образом, чтобы точка поверхности, находящаяся на одной вертикали с точкой на глубине z, для которой определяется напряжение σz, совпала с центром 0 диаграммы. Затем подсчитывается число участков, покрытых площадью фундамента ABCDEF (см. рис. 9.19). Это число умножается на «величину влияния» участков и на р. Полученное таким путем произведение дает величину σz для этой отдельной точки. Диаграммы Ньюмарка, используемые для практических целей, имеют намного большее число подразделений, чем показано на рис. 9.19. Величины влияния участков, полученных в результате более дробного подразделения, становятся соответственно меньшими, что позволяет оценивать более просто величину площади, покрываемой фундаментом неправильной формы. Такие диаграммы для определения как вертикальных, так и горизонтальных нормальных напряжений приводятся в работе Ньюмарка.