Фильтрация грунта в условиях плоской задачи. Гидродинамическая сетка

Факторы, которые влияют на режим гравитационного потока воды в грунтах, могут быть выявлены с помощью лабораторных фильтрационных испытаний. На рис. 5.6 приводятся результаты некоторых таких опытов, проводимых на последнем курсе обучения в лаборатории механики грунтов Принстонского университета. На рис. 5.6, а показан используемый для этих опытов фильтрационный лоток размером 60х24х8". Передняя стенка лотка стеклянная. На ней нанесены линии, образующие сетку квадратов со сторонами 4". На задней металлической стенке имеются 27 небольших отверстий, помеченных на передней стенке лотка небольшими кружочками. Отверстия прикрыты металлической сеткой с мелкими ячейками. К каждому отверстию подсоединены стеклянные пьезометрические трубки.

Для устранения чрезмерной подачи воды из крана R, когда сливной кран U в конце лотка закрыт или когда общий расход через модель земляной плотины в лотке меньше, чем приток к ней, у переднего крана лотка имеется водослив Т.

Когда лоток заполнен только водой и грунт в нем отсутствует, вода во всех 27 пьезометрах будет подниматься до одинакового уровня безотносительно к тому, что эти пьезометры подсоединены к лотку на четырех различных горизонтах I, II, III и IV. В этом случае говорят, что напор на всех этих уровнях одинаков. Таким образом, напор представляет собой потенциал, а не давление.

Совсем иначе будет обстоять дело, если мы заполним лоток песком. Например, если мы в лотке создадим модель земляной плотины, как это показано на рис. 5.6, в и г, и откроем оба крана R и U, чтобы обеспечить постоянные уровни воды в верхнем и нижнем бьефах плотины при разности их уровней, равной А, то мы заметим, что вода в ряде пьезометров поднимется до уровней, промежуточных между уровнями в верхнем и нижнем бьефах. Эти уровни регистрируют и наносят на специально разграфленный лист, подобный показанному на рис. 5.6, а, в точках, соответствующих положению каждого пьезометра. Затем через 27 точек, в которых был измерен напор, можно провести линии равного напора (эквипотенциальные линии), подобно тому, как вычерчиваются горизонтали при топографической съемке. На рис. 5.6, б, в и г они показаны пунктиром.

Допускается запуск в специально намеченные отдельные точки верхового откоса модели подкрашенной жидкости (в качестве красителя используют флуоресцеин). Для этой цели применяют специальный небольшой сосуд (на рисунке не показан). Из этого сосуда выводят несколько резиновых трубочек со стеклянными наконечниками. Наконечники вводят в песок в намеченных точках а, b, с, d, е, f и g на верховом откосе модели у стеклянной стенки лотка. Зажимы на резиновых трубках ослабляют так, чтобы пропустить в модель небольшое количество флуоресцеина. Тогда вдоль стеклянной стенки лотка могут наблюдаться окрашенные в зеленый цвет так называемые линии тока, исходящие из каждого наконечника. Они показаны на рис. 5.6, б, в и г сплошными линиями со стрелками. Зажим у наконечника а ослаблен в большей степени, чем, например, у наконечника g, так как скорость фильтрации в зоне наконечника а больше, чем у наконечника g (потеря напора в обоих случаях одинакова, однако путь фильтрации линии g больше, следовательно, гидравлический градиент для линии тока g меньше, чем у а).

Система взаимосвязанных эквипотенциальных линий и линий тока образует так называемую гидродинамическую сетку. Следует заметить, что эквипотенциали пересекают линии тока под прямыми углами. Это соответствует действительности, так как потеря напора, т. е. потенциала, фильтрующей воды вызывается трением между движущейся водой и частицами грунта и, следовательно, имеет место вдоль по линии тока.

На гидродинамических сетках (рис. 5.6, б, в и г) общая потеря напора А на фильтрацию подразделена на десять частей. Таким образом, потеря напора между каждой парой смежных эквипотенциальных линий равна А/10. Первая эквипотенциаль 0—0 совпадает с верховым откосом модели, а последняя 10—10 — с низовым. Следует отметить, что если грунт имеет однородный состав, как, например, в случае, показанном на рис. 5.6, в, где плотина была возведена целиком из одного и того же песка, эквипотенциальные линии вдоль каждой линии тока размещаются на более или менее одинаковом расстоянии. Однако в ряде случаев в некоторых частях плотины используются менее водопроницаемые грунты, как показано, например, на рис. 5.6, г, где центральное ядро (на рисунке заштриховано) образовано более мелким песком, проходящим через сито со 100 отверстиями. Очевидно, что такой грунт будет оказывать большее сопротивление потоку. Следовательно, в пределах зоны, занятой менее водопроницаемым грунтом, будет теряться большая часть напора. Это скажется в более сближенном расположении на этом участке плотины эквипотенциальных линий. С обратным положением мы встретимся, когда в толще грунта имеется зона с повышенной водопроницаемостью, например, когда по низу низового откоса залегает линза гравия (см. рис. 5.6, г). Результаты такого рода анализа приводят к практическим выводам, важным для проектирования земляных плотин.

Гидродинамические сетки могут быть построены без помощи фильтрационных испытаний на моделях. Для этой цели используется методика, предложенная в 1917 г. Форхгеймером. Рассмотрим участок гидродинамической сетки, который представлен четырьмя линиями тока 1—1, 2—2, 3—3 и 4—4, показанными на рис. 5.7. Поток — плоский, так что каждая линия тока находится в одной и той же вертикальной плоскости. Расстояние b между линиями тока 1—1 и 2—2, так же как между линиями тока 3—3 и 4—4, будет оставаться постоянным. Расход Q через грунт, заключенный в области, ограниченной этими четырьмя линиями тока, будет также оставаться постоянным во всех поперечных сечениях. Это следует из определения линии тока как пути, по которому происходит движение частиц воды. Так как рассматриваются только ламинарные, а не турбулентные потоки, ни один из этих путей не может пересечь другой. Вода в пределах четырех линий тока, показанных на рис. 5.7, ведет себя, по существу, так, как если бы она была заключена в трубу, стенками которой служат эти линии. Там, где линии тока проходят ближе друг к другу, так что поперечное сечение грунта, ограниченное ими, уменьшается, расход остается тем же, но скорость увеличивается. Таким образом, расход Q1 через поперечное сечение A1 должен быть равен расходу Q2 через поперечное сечение A2. Согласно уравнению (5.4)

В однородном грунте коэффициент фильтрации k будет иметь повсюду постоянное значение. Гидравлические градиенты S и поперечные сечения А будут равны:

Если мы решим начертить наши эквипотенциали таким образом, что падение напора Аh между каждой парой смежных эквипотенциалей постоянно, то

Подставив соответствующие значения из выражений (5.11)—(5.13) в выражение (5.10), получим

Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что отношение сторон каждого прямоугольника гидродинамической сетки, образованного пересечением линий тока с эквипотенциалями, должно иметь постоянное значение, если эта сетка вычерчена правильно. Таким образом, если один прямоугольник гидродинамической сетки представляет собой приближенно квадрат, т. е. а1 = L1, и все другие прямоугольники этой сетки должны также иметь приближенно форму квадратов. Это обстоятельство может быть использовано для построения гидродинамических сеток методом приближений. При построении сетки для земляных плотин сначала должна быть определена депрессионная кривая. Ее построение может быть выполнено с помощью приближенного метода, разработанного Лео Казагранде в 1934 г.

Когда вода фильтрует через грунты с различной проницаемостью, выражение (5.10) приводится к виду:

Предположим, что более водопроницаемый грунт имеет коэффициент фильтрации k1 и что мы начали строить гидродинамическую сетку в этой зоне как систему квадратов, т. е. мы положили, что а1=L1. Тогда из уравнения (5.15) следует, что

Другими словами, в зоне менее водопроницаемого грунта (k2