Расчет плавучести лесотранспортных единиц
Уравнение потери плавучести. Мы рассмотрели понятие о плавучести круглых лесоматериалов и установили, что одними из основных факторов, определяющих продолжительность сохранения лесотранспортных единиц на плаву, являются плотность древесины и интенсивность изменения ее при намокании.
Для того чтобы рассмотреть процесс потери плавучести по времени, нам необходимо установить закономерности изменения плотности древесины лесотранспортных единиц при намокании. Изменение плотности лесоматериалов при намокании происходит вследствие поглощения жидкости древесиной.
Древесина представляет собой сложное капиллярно-пористое тело, состоящее из древесинного вещества, образующего ее структуру, и заполнителей - воды и воздуха. Взаимное соотношение этих трех компонентов и определяет плотность древесины. Количество древесинного вещества не изменяется, а количество воды и воздуха в процессе намокания изменяется. Вода, проникая в поры древесины, вытесняет воздух, часть которого защемляется, часть растворяется, а основная часть диффундирует через воду.
Для аналитического описания процесса движения жидкости при намокании ее модель представим как систему сообщающихся продольных и поперечных гипотетических тупиковых капилляров. При этом объем полостей в модели примем равным объемной пористости древесины.
При составлении дифференциального уравнения сделаем допущение, что при нахождении бревен в воде намокание происходит по всей поверхности.
Примем исходные параметры бревна: длина L, диаметр d, плотность древесины ρ.
При сброске бревна в воду и впитывании в него влаги будет происходить изменение плотности древесины в зависимости от периода намокания:
Так как мы представили бревно как систему продольных и поперечных капилляров, то количество впитавшейся воды в единицу времени будет равно
При увлажнении древесины заполнение продольных и поперечных капилляров водой идет одновременно, при этом площади фильтрации по мере заполнения капилляров уменьшаются и зависят от соотношения количества воды, впитавшейся через боковую и торцовые поверхности. Причем вода, проникая в древесину, замещает воздух, а плотность, увеличиваясь, через некоторый промежуток времени становится равной плотности воды, в результате чего бревно тонет.
При продолжительности намокания, стремящейся к бесконечности, плотность достигает предельного значения ρпр. В этот момент в древесине остаются только два компонента - жидкость и древесинное вещество.
Разность между предельной плотностью ρпр и плотностью, соответствующей какому-то периоду времени нахождения в воде ρt, называется потенциалом увлажнения
Исходя из физического состояния древесины, объем свободных от капиллярной влаги пор в древесине в любой момент времени можно найти из следующего выражения:
Согласно принятой модели древесина состоит из системы продольных и поперечных капилляров. Если принять, что объем продольных капилляров, заполняемых через торцовую поверхность, равняется
то объем поперечных капилляров, заполняемых с боковой поверхности, будет равен
При известном соотношении между поверхностями цилиндра и его объемом запишем значения площадей фильтрации:
Таким образом, интенсивность изменения плотности древесины при намокании при прочих равных условиях прямо пропорциональна потенциалу влагоемкости и обратно пропорциональна корню квадратному величины времени нахождения в воде.
Разделив переменные в уравнении (147), после интегрирования при граничных условиях t = 0, ρ = ρн и ξ = const получим
Решив уравнение относительно t, получим
Подставив в уравнение (149) ρ = ρкр предельное значение плотности, при которой лесотранспортная единица (бревно) тонет, получим срок сохранения плавучести
Сроки потери плавучести партией бревен или партией сплоточных единиц (пучков). Уравнение (150) справедливо для одного бревна или одной сплоточной единицы (пучка). Партия бревен или сплоточных единиц (пучков) имеет в своем составе отдельные лесотранспортные единицы, обладающие различной плотностью в пределах от ρmin до ρmах, характеризуется средним значением плотности ρср и размахом колебания ω = ρmах - ρmin. Исходя из этого, потеря плавучести всей партии будет носить постепенный характер, то есть от потери плавучести одним бревном или сплоточной единицей до потери плавучести всей партией. Условием отсутствия потерь в партии является зависимость
ρк.с ≤ ρб.п,
то есть средняя плотность в конце лесосплава должна быть меньше или равняться ρбп - средней плотности партии, в которой отсутствуют бревна, имеющие критическую плотность ρкр. Исходя из закона распределения плотности бревен в партии (см. рис. 24), получаем
Таким образом, срок нахождения партии бревен в воде без потерь будет равен
В теории математической статистики существует зависимость между среднеквадратическим отклонением особи и совокупностью из них в виде
Тогда средняя плотность партии пучков, в которой отсутствуют бревна с плотностью ниже критической, будет равна
Из условия ρк.с ≤ ρб.п, используя уравнение (150), можно найти минимальное количество бревен, обеспечивающее плавучесть пучка:
Уравнение справедливо при условии ρкс < ρкр.
Рассмотрим график потери плавучести партией бревен и партией пучков (рис. 26). Пусть партия бревен и партия пучков имеют одинаковое значение средней ρср и критической ρкр плотности. Причем партия бревен имеет известные параметры плотности ρ1mах, ρ1min, а партия пучков соответственно ρ2тах и ρ2min, продолжительность нахождения в воде t.
Отложив на оси у плотность ρ и кривую ее распределения, а на оси х - время t, зная закономерность изменения плотности ρ по зависимости (148), проводим кривые ρmax, ρmin, ρср (см. уравнение (148)) до пересечения с граничным условием ρкр, получаем точки А, В, С, D, E. Опуская перпендикуляры на ось t из этих точек, получим характерные отрезки:
t1б.п - срок лесосплава партии бревен без потерь;
t2б.п - срок лесосплава партии пучков без потерь;
t1п - продолжительность нахождения всей партии бревен на плаву;
t2п - продолжительность нахождения партии пучков на плаву;
tp=50 - продолжительность сохранения плавучести 50 % партии бревен и пучков.
Если будем продолжать строить кривые водопоглощения за пределы точек А, В, С, D, Е, то получим интегральные кривые OKL и MKN, которые изображают характер потери плавучести партии бревен (OKL) и партии пучков (MKN).
Анализ графиков потери плавучести показывает следующее:
- чем больше размах колебания плотности, тем дольше партия находится на плаву: ω1 ≥ ω2;
- чем больше размах колебания плотности, тем меньше срок лесосплава без потерь: ω1 ≥ ω2, но t1б.п < t2б.п;
- при сокращении размаха колебания плотности отдельных бревен, объединяя их в совокупности, нам удается продлить срок лесосплава без потерь, но сократить продолжительность нахождения партии в целом на плаву.
Таким образом, основные факторы, определяющие плавучесть лесотранспортных единиц и их совокупностей, следующие:
- ρср, ω - плотность древесины (средняя плотность и размах ее колебаний);
- ρкр - критическая плотность лесотранспортных единиц;
- iρ = dρ/dt - интенсивность изменения плотности древесины;
- t - продолжительность нахождения в воде.