Основы моделирования гидравлических явлений

Основы теории подобия. Существует два способа исследования физических явлений и решения технических задач: теоретический и экспериментальный.
В результате теоретического способа создается модель явления, отражающая его существенные черты, затем составляется замкнутая система уравнений, и дается решение этой системы.
Это позволяет не только определять искомые величины для любых конкретных значений аргументов, но и производить анализ степени их влияния и находить те из аргументов, которые отвечают оптимальному протеканию явления или процесса.
Однако для решения ряда технических задач, связанных с расчетом силового взаимодействия жидкостей и газов с ограниченными стенками и обтекаемыми телами, а также с расчетом тепловых процессов, попытки воспользоваться теоретическим способом оказываются безуспешными. Либо не удается получить необходимую отчетливость физических представлений для составления модели явления и системы уравнений, либо из-за сложности поспедней не удается ее решить.
При экспериментальном способе исследуемое явление воспроизводится в процессе опытов, а значения аргументов и искомых величин определяются путем непосредственных измерений, в результате получаем таблицы значений.
Следовательно, при этом способе многочисленность аргументов может существенно осложнить решение задачи. Ho самое главное препятствие состоит в том, что с развитием техники и ростом сложности создаваемых сооружений разработка и доводка последних с помощью систематических опытов с натурными объектами требуют таких затрат средств и времени, что при этом путь оказывается совершенно неприемлемым. В ряде случаев опыты с натурными объектами и вовсе невозможны.
Чтобы устранить практическую невозможность проведения опытов с натурными объектами, следует проводить опыты с их моделями.
Оказалось, что решать технические задачи, экспериментируя на моделях, возможно, если использовать понятие о подобии физических явлений и вместо привычного исследования каждого частного явления в отдельности оперировать целыми группами подобных явлений. Считают, что два физических явления подобны, если величины одного явления могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных точках по пространству и времени, путем умножения на одинаковые для всех точек множители. Исходя из этого, два подобных физических явления различаются лишь масштабами величин и функцией, определяющей их количественные характеристики.
Два потока жидкости механически подобны, если:
- соблюдается геометрическое подобие, то есть отношения между всеми соответствующими размерами потоков одинаковы;
- соблюдается кинематическое подобие, то есть отношения скоростей всех соответствующих частиц жидкости одинаковы, а траектории их движения геометрически подобны;
- соблюдается подобие между всеми действующими в сходственных точках потоков одноименными силами, рассчитанными на единицу объема жидкости, то есть соответственно их отношения одинаковы.
Первые два требования приводят к тому, что начальные и пограничные кинематические и динамические условия механически подобных потоков должны быть тождественны, отличаясь лишь масштабом задаваемых величин.
Так как согласно основному закону динамики Ньютона сила равна массе, умноженной на ускорение, то соблюдение постоянства отношений между всеми одноименными силами, рассчитанными на единицу объема и действующими в сходственных точках, приводит к условию

Отношение одноименных физических величин (например, длин, масс, сил и т. д.), то есть масштабные множители, обозначим λi, λt, λv и т. д., где индексы указывают величину, к которой относится множитель: i - длина; t - время; v - скорость и т. д.
Отметим, что на движение жидкости влияют силы земного притяжения, вязкости, капиллярные (поверхностное силы), упругие, силы сжатия (давления).
Учитывая, что а = dv/dt, преобразуем формулу (95) и получим

называется критерием (или числом) Фруда.
Равенство чисел Фруда указывает на подобие сил тяжести (веса), действующих в натурном и модельном потоках.
Теперь рассмотрим подобие сил вязкости. Известно, что

называется критерием и является числом Рейнольдса.
Одинаковость этого числа указывает на подобие потоков в отношении сил вязкости. Величина I представляет собой некоторый характерный линейный размер, например: диаметр трубы, по которой течет жидкость; гидравлический радиус потока, длину погруженной в поток пластинки; диаметр шара, движущегося в потоке и т. д.
Величина v представляет собой характерную скорость, например, падения твердой частицы в потоке.
Рассматривая подобие сил давления на основании уравнений

Равенство этого числа для модели и натуры говорит об их подобии в отношении сил поверхностного натяжения.
В выражении (110) I представляет собой некоторый характерный размер.
Если на сходственные частицы жидкости действуют одновременно все рассмотренные силы - тяжести, давления, трения, поверхностного натяжения, то для соблюдения полного динамического подобия необходимо удовлетворение всех условий, то есть

Однако выполнение этих условий практически невозможно.
Действительно, например, одновременное выполнение условий

Так как в поле земного тяготения λg = 1, то λy = λi 3/2 необходимо подбирать так, чтобы отношение кинематических коэффициентов вязкости было равно линейному масштабу в степени 3/2.
Исходя из того, что подбор таких жидкостей практически неосуществим, можно считать, что одновременное удовлетворение условий подобия сил вязкости и сил тяжести невозможно. Из этого следует, что полного гидродинамического подобия достигнуть невозможно.
Однако в большинстве случаев одна из действующих сил значительно превосходит все остальные. В связи с этим ими можно пренебречь. Тогда определяющий критерий будет только один. В этом случае соблюдение этого критерия обеспечит приближенное общее динамическое подобие.
Например, при напорном движении по горизонтальной трубе силы трения преобладают над силами тяжести (веса), и, таким образом, определяющим будет критерий Re.
Ранее отмечалось, что наличие механического подобия предусматривает также существование и кинематического подобия. Исходя из этого, если частицы жидкости участвуют в сложном движении, например, поступательном и вращательном, то отношение одноименных скоростей должно быть одинаковым:

Анализ данных табл. 8 со значениями переходных коэффициентов для моделирования при условии сохранения постоянных критериев Re, Fr, We и St показывает, что при моделировании по различным критериям сохраняются значения масштабов давлений и энергии жидкости. В то же время масштабы всех прочих элементов получаются различными. Из этого следует, что одновременное сохранение двух или более критериев при моделировании невозможно.