Теорема Миттаг-Леффлера

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Теорема

Пусть мероморфная функция f ( z ) {displaystyle f(z)} имеет в точках z = a k , | a 1 | ⩽ | a 2 | ⩽ … ⩽ | a k | ⩽ … {displaystyle z=a_{k},|a_{1}|leqslant |a_{2}|leqslant ldots leqslant |a_{k}|leqslant ldots } полюсы с главными частями g k ( 1 z − a k ) = G k ( z ) {displaystyle g_{k}({frac {1}{z-a_{k}}})=G_{k}(z)} и пусть h k ( p ) = G k ( 0 ) + G k 1 ( 0 ) z + … + G k ( p ) ( 0 ) p ! z p {displaystyle h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+ldots +{frac {G_{k}^{(p)}(0)}{p!}}z^{p}} будут отрезки тейлоровских разложений g k ( 1 z − a k ) {displaystyle g_{k}left({frac {1}{z-a_{k}}} ight)} по степеням z {displaystyle z} . Тогда существует такая последовательность целых чисел p k {displaystyle p_{k}} и такая целая функция f 0 ( z ) {displaystyle f_{0}(z)} , что для всех z ≠ a k {displaystyle z eq a_{k}} имеет место разложение f ( z ) = f 0 ( z ) + ∑ k = 1 ∞ { g k ( 1 z − a k ) − h k p k ( z ) } {displaystyle f(z)=f_{0}(z)+sum _{k=1}^{infty }left{g_{k}left({frac {1}{z-a_{k}}} ight)-h_{k}^{p_{k}}(z) ight}} , абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном круге | z | ⩽ A {displaystyle |z|leqslant A} .

Следствие

Любая мероморфная функция f ( z ) {displaystyle f(z)} представима в виде суммы ряда f ( z ) = h ( z ) + ∑ n = 0 ∞ ( g n ( z ) − P n ( z ) ) {displaystyle f(z)=h(z)+sum _{n=0}^{infty }left(g_{n}(z)-P_{n}(z) ight)} , где h {displaystyle h} — целая функция, g n {displaystyle g_{n}} — главные части лорановских разложений в полюсах f ( z ) {displaystyle f(z)} , занумерованных по возрастанию их модулей, и P n {displaystyle P_{n}} — некоторые многочлены.