Устойчивое распределение

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Устойчивое распределение

01.08.2021

Устойчивое распределение в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение

Функция распределения F ( x ) {displaystyle F(x)} называется устойчивой, если для любых действительных чисел a 1 > 0 , a 2 > 0 , b 1 , b 2 {displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2}} найдутся числа a > 0 , b {displaystyle a>0,b} такие, что имеет место равенство: F ( a 1 x + b 1 ) ∗ F ( a 2 x + b 2 ) = F ( a x + b ) {displaystyle F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)} , где * - операция свёртки. Если ϕ ( t ) {displaystyle phi (t)} является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых a 1 > 0 , a 2 > 0 {displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0} найдутся числа a > 0 , b {displaystyle a>0,b} такие, что ϕ ( t a 1 ) ϕ ( t a 2 ) = ϕ ( t a ) e − i t b {displaystyle phi ({frac {t}{a_{1}}})phi ({frac {t}{a_{2}}})=phi ({frac {t}{a}}){e}^{-itb}} .

Замечания

  • Если F X {displaystyle F_{X}} — функция устойчивого распределения, то ∀ n ∈ N , ∃ a n , b n ∈ R {displaystyle forall nin mathbb {N} ,;exists a_{n},b_{n}in mathbb {R} } , такие что
F X ( x − b n a n ) = F X ∗ ⋯ ∗ F ( x ) , ∀ x ∈ R {displaystyle F_{X}left({frac {x-b_{n}}{a_{n}}} ight)=F_{X}*cdots *F(x),quad forall xin mathbb {R} } ,

где ∗ {displaystyle *} обозначает свёртку.

  • Если ϕ X {displaystyle phi _{X}} — характеристическая функция устойчивого распределения, то ∀ n ∈ N , ∃ a n , b n ∈ R {displaystyle forall nin mathbb {N} ,;exists a_{n},b_{n}in mathbb {R} } , такие что
ϕ X n ( t ) = ϕ X ( a n t ) e i b n t {displaystyle phi _{X}^{n}(t)=phi _{X}(a_{n}t),e^{ib_{n}t}} .

Свойства устойчивых распределений

  • Пусть ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n {displaystyle xi _{1},xi _{2},...,xi _{n}} - независимые одинаково распределённые случайные величины и η n = 1 β n ∑ k = 1 n ξ k − α n {displaystyle eta _{n}={frac {1}{eta _{n}}}sum _{k=1}^{n}xi _{k}-alpha _{n}} , где β n > 0 , α n {displaystyle eta _{n}>0,alpha _{n}} - некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если F n ( x ) {displaystyle F_{n}(x)} - функция распределения случайных величин η n {displaystyle eta _{n}} , то предельными распределениями для F n ( x ) {displaystyle F_{n}(x)} при n → ∞ {displaystyle n o infty } могут быть лишь устойчивые распределения. Обратно, для любого устойчивого распределения F ( x ) {displaystyle F(x)} существует последовательность случайных величин η n = 1 β n ∑ k = 1 n ξ k − α n {displaystyle eta _{n}={frac {1}{eta _{n}}}sum _{k=1}^{n}xi _{k}-alpha _{n}} такая, что F n ( x ) {displaystyle F_{n}(x)} сходится к F ( x ) {displaystyle F(x)} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .
  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
ln ⁡ ϕ ( t ) = { i t β − d | t | α ( 1 + i θ t | t | G ( t , α ) ) , t ≠ 0 0 , t = 0. , {displaystyle ln phi (t)=left{{egin{matrix}iteta -d|t|^{alpha }left(1+i heta {frac {t}{|t|}}G(t,alpha ) ight),&t ot =0,&t=0.end{matrix}} ight.,}

где 0 < α ≤ 2 , β ∈ R , d ≥ 0 , | θ | ≤ 1 , {displaystyle 0<alpha leq 2,;eta in mathbb {R} ,;dgeq 0,;| heta |leq 1,} и

G ( t , α ) = { t g π 2 α , α ≠ 1 2 π ln ⁡ | t | , α = 1 . {displaystyle G(t,alpha )=left{{egin{matrix}mathrm {tg} {frac {pi }{2}}alpha ,&alpha ot =1{frac {2}{pi }}ln |t|,&alpha =1end{matrix}} ight..}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: