Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество X {displaystyle X} , на котором введено отношение порядка.

Последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} элементов множества X {displaystyle X} называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

{ x n } {displaystyle {x_{n}}} — неубывающая ⇔   ∀ n ∈ N : x n ⩽ x n + 1 {displaystyle Leftrightarrow ~forall nin mathbb {N} colon x_{n}leqslant x_{n+1}}

Последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} элементов множества X {displaystyle X} называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

{ x n } {displaystyle {x_{n}}} — невозрастающая ⇔   ∀ n ∈ N : x n ⩾ x n + 1 {displaystyle Leftrightarrow ~forall nin mathbb {N} colon x_{n}geqslant x_{n+1}}

Последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} элементов множества X {displaystyle X} называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

{ x n } {displaystyle {x_{n}}} — возрастающая ⇔   ∀ n ∈ N : x n < x n + 1 {displaystyle Leftrightarrow ~forall nin mathbb {N} colon x_{n}<x_{n+1}}

Последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} элементов множества X {displaystyle X} называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

{ x n } {displaystyle {x_{n}}} — убывающая ⇔   ∀ n ∈ N : x n > x n + 1 {displaystyle Leftrightarrow ~forall nin mathbb {N} colon x_{n}>x_{n+1}}

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } , а лишь для номеров из некоторого диапазона

I = { n ∈ N ∣ N − ⩽ n < N + } {displaystyle I={nin mathbb {N} mid N_{-}leqslant n<N_{+}}}

(здесь допускается обращение правой границы N + {displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I {displaystyle I} , а сам диапазон I {displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность натуральных чисел.
  • ∀ n ∈ N : x n = n {displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}=n} .
  • Начальные отрезки: ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ⋯ ) {displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,cdots )} .
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • x n = { 1 , n = 1 ∨ n = 2 x n − 1 + x n − 2 , n ⩾ 3 {displaystyle x_{n}={egin{cases}1,&n=1lor n=2x_{n-1}+x_{n-2},&ngeqslant 3end{cases}}}
  • Начальные отрезки: ( 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , ⋯ ) {displaystyle (1,1,2,3,5,8,13,21,cdots )} .
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием 1 / 2 {displaystyle 1/2} .
  • ∀ n ∈ N : x n = 1 2 n − 1 {displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}={frac {1}{2^{n-1}}}} .
  • Начальные отрезки: ( 1 , 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 8 , 1 / 16 , ⋯ ) {displaystyle (1,1/2,1/4,1/8,1/16,cdots )} .
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • ∀ n ∈ N : x n = ( 1 + 1 n ) n {displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}=left(1+{frac {1}{n}} ight)^{n}} .
  • Начальные отрезки: ( 2 , 9 / 4 , 64 / 27 , 625 / 256 , ⋯ ) {displaystyle (2,9/4,64/27,625/256,cdots )} .
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида x n = ( n − 5 ) 2 {displaystyle x_{n}=,!(n-5)^{2}} не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке { 1 , 2 , 3 , 4 } {displaystyle {1,,!2,3,4}} и (строго) возрастает на промежутке { n ∈ N ∣ n ⩾ 5 } {displaystyle {nin mathbb {N} mid ngeqslant 5}} .

Свойства

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.