Правильный икосаэдр

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Правильный икосаэдр

17.05.2021

Правильный икосаэдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Вписанный икосаэдр, видно, что, согласно доказанному Паппом Александрийским, его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях.

История

Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника.

Основные формулы

Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

S = 5 a 2 3 {displaystyle S=5a^{2}{sqrt {3}}}

Объём:

V = 5 12 ( 3 + 5 ) a 3 {displaystyle V={egin{matrix}{5 over 12}end{matrix}}(3+{sqrt {5}})a^{3}}

Радиус вписанной сферы:

r = 1 12 42 + 18 5 a = 1 4 3 ( 3 + 5 ) a {displaystyle r={egin{matrix}{1 over {12}}end{matrix}}{sqrt {42+18{sqrt {5}}}}a={egin{matrix}{1 over {4{sqrt {3}}}}end{matrix}}(3+{sqrt {5}})a}

Радиус описанной сферы:

R = 1 4 2 ( 5 + 5 ) a {displaystyle R={egin{matrix}{1 over 4}end{matrix}}{sqrt {2(5+{sqrt {5}})}}a}

Свойства

  • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями икосаэдра равен arccos(-√5/3) = 138,189685°.
  • Все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
  • Десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям.
  • Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
  • В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
  • Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
  • В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
  • Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
  • Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
  • Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.

Усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

В мире

  • Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
  • Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела в виде икосаэдра

  • Капсиды многих вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: