Теорема Левинсона

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Теорема Левинсона

15.05.2021

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Формулировка теоремы

Пусть решения системы

d x d t = A x , ( 1 ) {displaystyle {frac {dx}{dt}}=Ax,quad (1)}

где A {displaystyle A} — постоянная ( n × n ) {displaystyle (n imes n)} -матрица, ограничены на [ 0 , ∞ ) {displaystyle [0,infty )} . Тогда система

d y d t = [ A + B ( t ) ] y , ( 2 ) {displaystyle {frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,quad (2)}

где B ( t ) ∈ C [ 0 , ∞ ) {displaystyle B(t)in C[0,infty )} и ∫ 0 ∞ ‖ B ( t ) ‖ d t < ∞ , ( 3 ) {displaystyle int _{0}^{infty }lVert B(t) Vert ,dt<infty ,quad (3)}

асимптотически эквивалентна системе ( 1 ) {displaystyle quad (1)} .

Доказательство

(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру )

Поскольку решения системы ( 1 ) {displaystyle quad (1)} ограничены, то характеристические корни λ   ( A ) {displaystyle lambda (A)} матрицы A {displaystyle A} удовлетворяют равенству

R e λ   ( A ) ≤   0 , {displaystyle Relambda (A)leq 0,}

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.

Без ограничения общности предположим, что матрица A {displaystyle A} имеет квазидиагональный вид

A = d i a g ( A 1 , A 2 ) , ( 4 ) {displaystyle quad A=diag(A_{1},A_{2}),quad (4)}

где A 1 {displaystyle quad A_{1}} и A 2 {displaystyle quad A_{2}} -- соответственно, ( p × p ) {displaystyle (p imes p)} - и ( q × q ) {displaystyle (q imes q)} -матрицы ( p + q ) {displaystyle quad (p+q)} такие, что

R e λ   ( A 1 ) < − α <   0 , {displaystyle Relambda (A_{1})<-alpha < 0,} R e λ   ( A 2 ) = 0 , ( 5 ) {displaystyle Relambda (A_{2})=0,quad (5)}

Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований ξ   = S x , {displaystyle xi =S{oldsymbol {x}},} и η   = S y , {displaystyle eta =S{oldsymbol {y}},} где S {displaystyle quad S} — постоянная ( n × n ) {displaystyle (n imes n)} -матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми ξ ( t ) ⟺ η ( t ) {displaystyle {oldsymbol {xi }}(t)Longleftrightarrow {oldsymbol {eta }}(t)} индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми x ( t ) = S − 1 ξ ( t ) ⟺ S − 1 η ( t ) = y ( t ) {displaystyle {oldsymbol {x}}(t)=S^{-1}xi (t)Longleftrightarrow S^{-1}eta (t)={oldsymbol {y}}(t)} .

Кроме того, из предельного отношения ξ ( t ) − η ( t ) → 0 , {displaystyle {oldsymbol {xi }}(t)-{oldsymbol {eta }}(t) o 0,} при t → ∞ {displaystyle t o infty } очевидно, следует предельное отношение

x ( t ) − y ( t ) → 0 , {displaystyle {oldsymbol {x}}(t)-{oldsymbol {y}}(t) o 0,} при t → ∞ {displaystyle t o infty } .

1 ) {displaystyle quad 1)} Пусть X ( t ) = d i a g ( e t A 1 , e t A 2 ) {displaystyle quad X(t)=diag(e^{tA_{1}},e^{tA_{2}})} -- фундаментальная матрица системы ( 1 ) , {displaystyle quad (1),} нормированная в нуле: X ( t ) = E , {displaystyle quad X(t)=E,} а I 1 = d i a g ( E p , 0 ) , {displaystyle quad I_{1}=diag(E_{p},0),} и I 2 = d i a g ( 0 , E q ) , {displaystyle quad I_{2}=diag(0,E_{q}),} где E q {displaystyle quad E_{q}} и E p {displaystyle quad E_{p}} -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, I 1 + I 2 = E n . {displaystyle quad I_{1}+I_{2}=E_{n}.}

Положим X ( t ) = X 1 ( t ) + X 2 ( t ) , {displaystyle quad X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),} где X 1 ( t ) = X ( t ) I 1 ≡ d i a g ( e t A 1 , 0 ) , {displaystyle quad X_{1}(t)=X(t)I_{1}equiv diag(e^{tA_{1}},0),} и X 2 ( t ) = X ( t ) I 2 ≡ d i a g ( 0 , e t A 2 ) {displaystyle quad X_{2}(t)=X(t)I_{2}equiv diag(0,e^{tA_{2}})} .

Отсюда матрицу Коши K ( t , τ ) ≡ X ( t ) X − 1 ( τ ) = X ( t − τ ) {displaystyle quad K(t, au )equiv X(t)X^{-1}( au )=X(t- au )} можно представить в виде:

K ( t , τ ) = X 1 ( t − τ ) + X 2 ( t − τ ) , {displaystyle quad K(t, au )=X_{1}(t- au )+X_{2}(t- au ),}

причем при условии ( 5 ) {displaystyle quad (5)} имеем

‖ X 1 ( t ) ‖ = ‖ e t A 1 ‖ ≤ a e − α t , {displaystyle lVert X_{1}(t) Vert =lVert e^{tA_{1}} Vert leq ae^{-alpha t},}

при 0 ≤ t < ∞ {displaystyle 0leq t<infty } ( 6 ) {displaystyle quad (6)} и

‖ X 2 ( t ) ‖ = ‖ e t A 2 ‖ ≤ b , {displaystyle lVert X_{2}(t) Vert =lVert e^{tA_{2}} Vert leq b,}

при − ∞ < t < ∞ {displaystyle -infty <t<infty } ( 7 ) , {displaystyle quad (7),} где a , b {displaystyle quad a,b} - некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме

y ( t ) = X ( t − t 0 ) y ( t 0 ) + ∫ t 0 t X 1 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ + {displaystyle quad y(t)=X(t-t_{0}){oldsymbol {y}}(t_{0})+int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au +} ∫ t 0 t X 2 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ , {displaystyle int _{t_{0}}^{t}X_{2}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au ,} где t ∈ [ 0 , ∞ ) {displaystyle tin [0,infty )} произвольное.

Поскольку матрица B ( t ) {displaystyle quad B(t)} абсолютно интегрирована на [ 0 , ∞ ) , {displaystyle [0,infty ),} то все решения y ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)} системы ( 2 ) {displaystyle quad (2)} ограничены на [ 0 , ∞ ) , {displaystyle [0,infty ),}

и поэтому несобственный интеграл ∫ t 0 ∞ X 2 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ {displaystyle int _{t_{0}}^{infty }X_{2}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au } является сходящимся.

Отсюда, учитывая, что X 2 ( t − τ ) = X ( t − τ ) I 2 = X ( t − t 0 ) X ( t 0 − τ ) I 2 = X ( t − t 0 ) X 2 ( t 0 − τ ) , {displaystyle quad X_{2}(t- au )=X(t- au )I_{2}=X(t-t_{0})X(t_{0}- au )I_{2}=X(t-t_{0})X_{2}(t_{0}- au ),} наше интегральное уравнение можно представить в виде

y ( t ) = X ( t − t 0 ) [ y ( t 0 ) + ∫ t 0 ∞ X 2 ( t 0 − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ ] + {displaystyle quad y(t)=X(t-t_{0})leftlbrack {oldsymbol {y}}(t_{0})+int _{t_{0}}^{infty }X_{2}(t_{0}- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au ight brack +} + ∫ t 0 t X 1 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ − ∫ t ∞ X 2 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ ( 8 ) {displaystyle +int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au -int _{t}^{infty }X_{2}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au (8)}

Решению y ( t ) {displaystyle quad {oldsymbol {y}}(t)} системы ( 2 ) {displaystyle quad (2)} с начальным условием y ( t 0 ) = y 0 {displaystyle quad {oldsymbol {y}}(t_{0})={oldsymbol {y_{0}}}} сопоставим решение x ( t ) {displaystyle quad {oldsymbol {x}}(t)} системы ( 1 ) {displaystyle quad (1)} с начальным условием

x ( t 0 ) = y 0 ( t 0 ) + ∫ t 0 ∞ X 2 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ ( 9 ) {displaystyle quad {oldsymbol {x}}(t_{0})={oldsymbol {y_{0}}}(t_{0})+int _{t_{0}}^{infty }X_{2}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au (9)}

Поскольку решения x ( t ) {displaystyle quad {oldsymbol {x}}(t)} и y ( t ) {displaystyle quad {oldsymbol {y}}(t)} полностью определяются своими начальными условиями, то формула ( 9 ) {displaystyle quad (9)} устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений { y ( t ) } {displaystyle lbrace {oldsymbol {y}}(t) brace } системы ( 2 ) {displaystyle quad (2)} и множеством решений { x ( t ) } {displaystyle lbrace {oldsymbol {x}}(t) brace } (или ее частью) системы ( 1 ) {displaystyle quad (1)} . Заметим, что отношение ( 9 ) {displaystyle quad (9)} непрерывное относительно начального значения y ( t 0 ) = y 0 . {displaystyle quad {oldsymbol {y}}(t_{0})={oldsymbol {y_{0}}}.}

2 ) {displaystyle quad 2)} Покажем, что соответствие между решениями x ( t ) {displaystyle quad {oldsymbol {x}}(t)} и y ( t ) , {displaystyle quad {oldsymbol {y}}(t),} что определяется формулой ( 9 ) , {displaystyle quad (9),} является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений { x ( t ) } {displaystyle lbrace {oldsymbol {x}}(t) brace } .

Пусть Y ( t ) {displaystyle quad Y(t)} -- фундаментальная матрица системы ( 1 ) {displaystyle quad (1)} такая, что Y ( t 0 ) = E {displaystyle quad Y(t_{0})=E} . Имеем

Y ( t ) = X ( t − t 0 ) + ∫ t 0 t X ( t − τ ) B ( τ ) Y ( τ ) d τ . {displaystyle Y(t)=X(t-t_{0})+int _{t_{0}}^{t}X(t- au )B( au )Y( au ),d au .}

Но из неравенств ( 6 ) , ( 7 ) {displaystyle quad (6),(7)} следует ‖ X ( t − t 0 ) ‖ ≤ m a x ( a , b ) = c , {displaystyle lVert X(t-t_{0}) Vert leq max(a,b)=c,} при t ≥ t 0 {displaystyle tgeq t_{0}} ; поэтому

‖ Y ( t ) ‖ ≥ c + ∫ t 0 t c ‖ B ( τ ) ‖ ‖ Y ( τ ) ‖ d τ {displaystyle lVert Y(t) Vert geq c+int _{t_{0}}^{t}clVert B( au ) Vert lVert Y( au ) Vert ,d au }

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

‖ Y ( t ) ‖ ≥ c exp ⁡ ( ∫ t 0 t c ‖ B ( τ ) ‖ d τ ) ≥ c exp ⁡ ( c ∫ 0 ∞ ‖ B ( τ ) ‖ d τ ) = k , {displaystyle lVert Y(t) Vert geq c,exp(int _{t_{0}}^{t}clVert B( au ) Vert ,d au )geq c,exp(cint _{0}^{infty }lVert B( au ) Vert ,d au )=k,quad }

при t 0 ≥ t < ∞ ( 10 ) , {displaystyle t_{0}geq t<infty qquad (10),}

причем константа k {displaystyle quad k} по оценке ( 10 ) {displaystyle quad (10)} не зависит от выбора начального момента t 0 ( t 0 ≤ 0 ) . {displaystyle t_{0}(t_{0}leq 0).}

Очевидно, имеем y ( t ) = Y ( t ) y ( t 0 ) . {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)=Y(t){oldsymbol {y}}(t_{0}).}

Поэтому из формулы ( 9 ) {displaystyle quad (9)} получаем y ( t 0 ) = [ E + Z ( t 0 ) ] y ( t 0 ) , {displaystyle {oldsymbol {y}}(t_{0})=lbrack E+Z(t_{0}) brack {oldsymbol {y}}(t_{0}),quad } где Z ( t 0 ) = ∫ t 0 ∞ X 2 ( t 0 − τ ) B ( τ ) Y ( τ ) d τ , {displaystyle Z(t_{0})=int _{t_{0}}^{infty }X_{2}(t_{0}- au )B( au )Y( au ),d au ,quad } причем на основе ( 7 ) , ( 10 ) {displaystyle quad (7),(10)} выводим

‖ Z ( t 0 ) ‖ ≥ ∫ t 0 ∞ ‖ X 2 ( t 0 − τ ) ‖ ‖ B ( τ ) ‖ ‖ Y ( τ ) ‖ d τ ≥ b k ∫ t 0 ∞ ‖ B ( τ ) ‖ d τ ( 12 ) . {displaystyle lVert Z(t_{0}) Vert geq int _{t_{0}}^{infty }lVert X_{2}(t_{0}- au ) Vert lVert B( au ) Vert lVert Y( au ) Vert ,d au geq bkint _{t_{0}}^{infty }lVert B( au ) Vert ,d au quad (12).}

Поскольку матрица B ( t ) {displaystyle quad B(t)} абсолютно интегрирована на [ 0 , ∞ ) {displaystyle quad [0,infty )} , то ∫ t 0 ∞ ‖ B ( τ ) ‖ d τ → 0 {displaystyle int _{t_{0}}^{infty }lVert B( au ) Vert ,d au o 0} при t 0 → ∞ {displaystyle t_{0} o infty } , следовательно, в силу ( 12 ) {displaystyle quad (12)} начальный момент t 0 {displaystyle quad t_{0}} можно выбрать настолько большим, чтобы имело место det [ E + Z ( t 0 ) ] > 0. ( 13 ) {displaystyle det lbrack E+Z(t_{0}) brack >0.(13)} В дальнейшем t 0 {displaystyle quad t_{0}quad } будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства ( 13 ) {displaystyle quad (13)} . Отсюда и из формулы ( 11 ) {displaystyle quad (11)} выводим

y ( t 0 ) = [ E + Z ( t 0 ) ] < s u p > − 1 < / s u p > x ( t 0 ) . ( 14 ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t_{0})=lbrack E+Z(t_{0}) brack <sup>-1</sup>{oldsymbol {x}}(t_{0}).qquad (14)}

Поскольку формулы ( 11 ) {displaystyle quad (11)} и ( 14 ) {displaystyle quad (14)} равносильны, то для каждого решения x ( t ) {displaystyle quad {oldsymbol {x}}(t)} системы ( 1 ) {displaystyle quad (1)} с начальным условием x ( t 0 ) = x 0 {displaystyle {oldsymbol {x}}(t_{0})={oldsymbol {x_{0}}}quad } найдется только одно решение y ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)quad } системы ( 2 ) , {displaystyle quad (2),} которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие y ( t 0 ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t_{0})quad } которого определяется формулой ( 14 ) . {displaystyle quad (14).}

Соответствие между решениями x ( t ) {displaystyle {oldsymbol {x}}(t)} и y ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)} , которое устанавливается формулами ( 11 ) {displaystyle quad (11)} и ( 14 ) , {displaystyle quad (14),quad } -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению y ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)} соответствует одно и только одно решение x ( t ) {displaystyle {oldsymbol {x}}(t)quad } , и наоборот.

Отметим, что тривиальному решению y ≡ 0 {displaystyle {oldsymbol {y}}equiv 0quad } соответствует тривиальное решение x ≡ 0 {displaystyle {oldsymbol {x}}equiv 0quad } и в силу линейности соотношений ( 11 ) {displaystyle quad (11)} и ( 14 ) {displaystyle quad (14)} различными решениям y 1 ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y_{1}}}(t)} и y 2 ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y_{2}}}(t)quad } системы ( 2 ) , {displaystyle quad (2),} отвечают разные решения x 1 ( t ) {displaystyle {oldsymbol {x_{1}}}(t)quad } и x 2 ( t ) {displaystyle {oldsymbol {x_{2}}}(t)quad } системы ( 1 ) , {displaystyle quad (1),} и наоборот.

Для соответствующих решений x ( t ) {displaystyle {oldsymbol {x}}(t)quad } и y ( t ) {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)quad } оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что

x ( t ) = X ( t − t 0 ) x ( t 0 ) , {displaystyle {oldsymbol {x}}(t)=X(t-t_{0}){oldsymbol {x}}(t_{0}),qquad } где x ( t 0 ) {displaystyle {oldsymbol {x}}(t_{0})} определяется формулой ( 9 ) {displaystyle quad (9)} , то из формулы ( 8 ) {displaystyle quad (8)} имеем

y ( t ) − x ( t ) = ∫ t 0 t X 1 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ − ∫ t ∞ X 2 ( t − τ ) B ( τ ) y ( τ ) d τ . {displaystyle {oldsymbol {y}}(t)-{oldsymbol {x}}(t)=int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au -int _{t}^{infty }X_{2}(t- au )B( au ){oldsymbol {y}}( au ),d au .}

Отсюда, учитывая, что

‖ y ( t ) ‖ = ‖ Y ( t ) y ( t 0 ) ‖ ≤ ‖ Y ( t ) ‖ ‖ y ( t 0 ) ‖ ≤ k ‖ y ( t 0 ) ‖ , {displaystyle lVert {oldsymbol {y}}(t) Vert =lVert Y(t){oldsymbol {y}}(t_{0})lVert leq lVert Y(t) Vert lVert {oldsymbol {y}}(t_{0}) Vert leq k,lVert {oldsymbol {y}}(t_{0}) Vert ,} при t ≥ t 0 , {displaystyle tgeq t_{0},}

на основе оценок ( 6 ) {displaystyle quad (6)} и ( 7 ) {displaystyle quad (7)} получаем

‖ y ( t ) − x ( t ) ‖ ≤ ∫ t 0 t ‖ X 1 ( t − τ ) ‖ ‖ B ( τ ) ‖ ‖ y ( τ ) d τ + ∫ t ∞ ‖ X 2 ( t − τ ) ‖ ‖ B ( τ ) ‖ ‖ y ( τ ) d τ ≤ {displaystyle lVert {oldsymbol {y}}(t)-{oldsymbol {x}}(t) Vert leq int _{t_{0}}^{t}lVert X_{1}(t- au ) Vert lVert B( au ) Vert lVert {oldsymbol {y}}( au ),d au +int _{t}^{infty }lVert X_{2}(t- au ) Vert lVert B( au ) Vert lVert {oldsymbol {y}}( au ),d au leq }

≤ a k ‖ y ( t 0 ) ‖ ∫ t 0 t e − α ( t − τ ) ‖ B ( τ ) ‖ d τ + b k ‖ y ( t 0 ) ‖ ∫ t ∞ ‖ B ( τ ) ‖ d τ . ( 15 ) {displaystyle leq ak,lVert {oldsymbol {y}}(t_{0})lVert int _{t_{0}}^{t}e^{-alpha (t- au )}lVert B( au ) Vert ,d au ,+,bk,lVert {oldsymbol {y}}(t_{0}) Vert int _{t}^{infty }lVert B( au ) Vert ,d au .(15)}

Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы B ( t ) {displaystyle quad B(t)} при t ≥ 2 t 0 {displaystyle tgeq 2t_{0}} имеем ∫ t 0 t e − α ( t − τ ) ‖ B ( τ ) ‖ d τ = ∫ t 0 t 2 e − α ( t − τ ) ‖ B ( τ ) ‖ d τ + ∫ t 2 t e − α ( t − τ ) ‖ B ( τ ) ‖ d τ ≤ {displaystyle int _{t_{0}}^{t}e^{-alpha (t- au )}lVert B( au ) Vert ,d au =int _{t_{0}}^{frac {t}{2}}e^{-alpha (t- au )}lVert B( au ) Vert ,d au ,+,int _{frac {t}{2}}^{t}e^{-alpha (t- au )}lVert B( au ) Vert ,d au leq }

≤ e − α t 2 ∫ 0 ∞ ‖ B ( τ ) ‖ d τ + ∫ t 2 t ‖ B ( τ ) ‖ d τ < ε , {displaystyle leq e^{-{frac {alpha t}{2}}}int _{0}^{infty }lVert B( au ) Vert ,d au ,+,int _{frac {t}{2}}^{t}lVert B( au ) Vert ,d au ,<varepsilon ,,} если t > T . {displaystyle quad t>T.}

Итак,

lim t → ∞ ∫ t 0 t e − α ( t − τ ) ‖ B ( τ ) ‖ d τ = 0. {displaystyle lim limits _{t o infty }int _{t_{0}}^{t}e^{-alpha (t- au )}lVert B( au ) Vert ,d au =0.}

Таким образом, из неравенства ( 15 ) {displaystyle quad (15)} выводим lim t → ∞ [ x ( t ) − y ( t ) ] = 0 , {displaystyle lim limits _{t o infty }[x(t)-y(t)]=0,} то есть системы ( 1 ) {displaystyle quad (1)} и ( 2 ) {displaystyle quad (2)} асимптотически эквивалентны. Доказано.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: