Непрерывное отображение

Непрерывное отображение (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и тому подобных пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и так далее.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Определения

Наиболее общее определение даётся в топологии.

Непрерывность в топологических пространствах

Отображение f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} топологического пространства ( X , T X ) {displaystyle (X,{mathcal {T}}_{X})} в топологическое пространство ( Y , T Y ) {displaystyle (Y,{mathcal {T}}_{Y})} называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

∀ V ∈ T Y f − 1 ( V ) ∈ T X {displaystyle forall Vin {mathcal {T}}_{Y}quad f^{-1}(V)in {mathcal {T}}_{X}} .

Непрерывность на подпространстве

Если рассмотреть некоторое подмножество A {displaystyle A} множества X {displaystyle X} , то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология T A {displaystyle {mathcal {T}}_{A}} , которую составляют всевозможные пересечения множества A {displaystyle A} с множествами, входящими в топологию T X {displaystyle {mathcal {T}}_{X}} .

Отображение f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} , непрерывное на множестве X {displaystyle X} , будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.

Непрерывность в точке

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} называется непрерывным в точке x {displaystyle x} , если для любой окрестности V {displaystyle V} точки f ( x ) {displaystyle f(x)} найдется такая окрестность U {displaystyle U} точки x {displaystyle x} , что f ( U ) ⊂ V {displaystyle f(U)subset V} .

Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества.

В случае, если область определения функции удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна так называемой секвенциальной непрерывности: если lim n → ∞ x n = x {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=x} , то lim n → ∞ f ( x n ) = f ( x ) {displaystyle lim _{n o infty }f(x_{n})=f(x)} . В общем же случае, секвенциально непрерывные прообразы секвенциально замкнутых множеств секвенциально замкнуты, что является аналогом эквивалентного определения непрерывных отображений как тех, при которых прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Эквивалентные определения

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

• прообраз всякого открытого множества открыт;
• прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
• прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
• образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
• замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

В метрических пространствах топология задаётся семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} метрического пространства ( X , ρ X ) {displaystyle (X, ho _{X})} в метрическое пространство ( Y , ρ Y ) {displaystyle (Y, ho _{Y})} называется непрерывным в точке a {displaystyle a} , если для всякого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует δ > 0 {displaystyle delta >0} , что для всякого x ∈ X {displaystyle xin X} , такого, что ρ X ( x , a ) < δ {displaystyle ho _{X}(x,a)<delta } , выполняется неравенство: ρ Y ( f ( x ) , f ( a ) ) < ε {displaystyle ho _{Y}(f(x),f(a))<varepsilon } .

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задаётся нормой, поэтому то же определение даётся в терминах нормы.

Пусть, f : N 1 → N 2 {displaystyle fcolon {N_{1}} o {N_{2}}} отображение между нормированными пространствами с нормами ‖ ∗ ‖ 1 {displaystyle |{*}|_{1}} и ‖ ∗ ‖ 2 {displaystyle |{*}|_{2}} соответственно. Функция f {displaystyle f} непрерывна в точке a {displaystyle a} , если для любого числа ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} найдётся такое число δ > 0 {displaystyle delta >0} , что для всех точек x ∈ N 1 {displaystyle xin N_{1}} , таких что ‖ x − a ‖ 1 < δ {displaystyle |x-a|_{1}<delta } выполнено неравенство ‖ f ( x ) − f ( a ) ‖ 2 < ε {displaystyle |f(x)-f(a)|_{2}<varepsilon } ,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счётности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала f : X → R {displaystyle f:X ightarrow mathbb {R} } (или C {displaystyle mathbb {C} } ), где X {displaystyle X} — произвольное топологическое пространство, следующее:

Функционал f {displaystyle f} называется непрерывным в точке a ∈ X {displaystyle ain X} , если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} найдется окрестность Σ a {displaystyle Sigma _{a}} этой точки, такая, что ∀ x ∈ Σ a {displaystyle forall xin Sigma _{a}} выполнено условие | f ( x ) − f ( a ) | < ε {displaystyle |f(x)-f(a)|<varepsilon } .

Множество непрерывных на X {displaystyle X} функционалов (функций) принято обозначать C ( X ) {displaystyle C(X)} . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция

Пусть, f : R ⊃ E → R {displaystyle fcolon mathbb {R} supset E o mathbb {R} } (или C {displaystyle mathbb {C} } ). Функция f {displaystyle f} непрерывна в точке a {displaystyle a} , если для любого числа ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} найдётся такое число δ > 0 {displaystyle delta >0} , что для всех точек x ∈ E {displaystyle xin E} условие | x − a | < δ {displaystyle |x-a|<delta } влечёт | f ( x ) − f ( a ) | < ε {displaystyle |f(x)-f(a)|<varepsilon } .

Другими словами, функция f {displaystyle f} непрерывна в точке a {displaystyle a} , предельной для множества E {displaystyle E} , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

f ∈ C ( { a } ) ⇔ lim x → a f ( x ) = f ( a ) {displaystyle fin C({a})Leftrightarrow lim limits _{x o a}f(x)=f(a)}

Функция f {displaystyle f} непрерывна на множестве E {displaystyle E} , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция f {displaystyle f} класса C 0 {displaystyle C^{0}} и пишут: f ∈ C 0 ( E ) {displaystyle fin C^{0}(E)} или, подробнее, f ∈ C 0 ( E , R ) {displaystyle fin C^{0}(E,mathbb {R} )} .

Свойства непрерывных отображений

• Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

• Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

• Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

• Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.

• Теорема Титце. Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства, может быть продолжена до непрерывной функции на всём пространстве.

• Композиция непрерывных отображений также является непрерывным отображением.
• Сумма, разность и произведение непрерывных вещественнозначных функций непрерывны.
• Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
• Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть C ( X ) {displaystyle C(X)} - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве X {displaystyle X} . Пусть B ( X ) {displaystyle B(X)} - подмножество C ( X ) {displaystyle C(X)} , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае B ( X ) = C ( X ) {displaystyle B(X)=C(X)} тогда и только тогда, когда ∀ x 1 , x 2 ∈ X {displaystyle forall x_{1},x_{2}in X} , существует f ∈ B {displaystyle fin B} , такая что f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) {displaystyle f(x_{1}) ot =f(x_{2})} .

Связанные определения

• Гомеоморфизм — непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
• Равномерная непрерывность