Интеграл Римана
Интеграл Римана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Неформальное геометрическое описание
Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).
Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.
Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами Δ x i {displaystyle Delta x_{i}} будет интегральной суммой:
S = ∑ i f ( x i ) Δ x i . {displaystyle S=sum _{i}f(x_{i})Delta x_{i}.}Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из Δ x i {displaystyle Delta x_{i}} стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
Определения
Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} определена вещественнозначная функция f {displaystyle f} .
Рассмотрим разбиение отрезка a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b {displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{n-1}<x_{n}=b} — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [ a , b ] {displaystyle [a,b]} на n отрезков [ x i − 1 , x i ] , i = 1 … n {displaystyle [x_{i-1},x_{i}],;i=1dots n} . Длина наибольшего из отрезков δ R = max ( Δ x i ) {displaystyle delta R=max(Delta x_{i})} называется шагом разбиения, где Δ x i = x i − x i − 1 {displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} — длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] {displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]} . Интегральной суммой называется выражение σ x = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i {displaystyle sigma _{x}=sum limits _{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}}} .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] {displaystyle xi _{i}in [x_{i-1},x_{i}]} , то это число называется интегралом функции f {displaystyle f} на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , то есть ∫ a b f ( x ) d x = lim δ R → 0 σ x {displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx=lim limits _{delta R o 0}sigma _{x}} .
В этом случае, сама функция f {displaystyle f} называется интегрируемой (по Риману) на [ a , b ] {displaystyle [a,b]} ; в противном случае f {displaystyle f} является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} .
Через суммы Дарбу
Свойства
Условия существования интеграла Римана
Непрерывная на отрезке функция всегда интегрируема по Риману (следствие свойств 1—5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.
Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману
Функция интегрируема по Риману на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
Другой критерий
Для того, чтобы функция f ( x ) {displaystyle f(x)} была интегрируемой на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , необходимо и достаточно, чтобы сумма ∑ i = 1 n ω i Δ i {displaystyle sum _{i=1}^{n}omega _{i}Delta _{i}} стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения d {displaystyle d} .
Здесь ω i {displaystyle omega _{i}} — колебание функции f ( x ) {displaystyle f(x)} в сегменте Δ i = [ x i − 1 , x i ] {displaystyle Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]} ,
колебание ω {displaystyle omega } функции f {displaystyle f} на множестве E {displaystyle E} — разность sup E f ( x ) − inf E f ( x ) {displaystyle sup _{E}f(x)-inf _{E}f(x)} , диаметр разбиения d = sup i ( x i − x i − 1 ) {displaystyle d=sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})} .Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману
Ниже перечислены некоторые классы функций, для которых значение интеграла Римана всегда существует и конечно.
- Функции, непрерывные на отрезке [ a , b ] . {displaystyle [a,b].}
- Функции, ограниченные на [ a , b ] {displaystyle [a,b]} и имеющая на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва.
- Монотонные ограниченные функции.
История
Приведенное выше определение интеграла дано Коши, оно применялось только для непрерывных функций.
Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году, на русском языке впервые в 1914 году) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).