Замкнутая геодезическая

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Замкнутая геодезическая

15.04.2021

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

В римановом многообразии (M,g) замкнутая геодезическая — это периодическая кривая γ : R → M {displaystyle gamma :mathbb {R} ightarrow M} , которая является геодезической для метрики g.

Замкнутые геодезические можно описать с помощью вариационного принципа. Если обозначить через Λ M {displaystyle Lambda M} пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии E : Λ M → R {displaystyle E:Lambda M ightarrow mathbb {R} } , определённой формулой

E ( γ ) = ∫ 0 1 g γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t . {displaystyle E(gamma )=int _{0}^{1}g_{gamma (t)}({dot {gamma }}(t),{dot {gamma }}(t)),mathrm {d} t.}

Если γ {displaystyle gamma } — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая t ↦ γ ( p t ) {displaystyle tmapsto gamma (pt)} является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если γ {displaystyle gamma } является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые γ m {displaystyle gamma ^{m}} , для любого m ∈ N {displaystyle min mathbb {N} } , определённые формулой γ m ( t ) := γ ( m t ) {displaystyle gamma ^{m}(t):=gamma (mt)} . Тогда любая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

Примеры

На единичной сфере S n ⊂ R n + 1 {displaystyle S^{n}subset mathbb {R} ^{n+1}} со стандартной круговой римановой метрикой любой большой круг является замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может и не быть верным, но всегда существуют по меньшей мере три простые замкнутые геодезические. Это теорема о трёх геодезических. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты, были тщательно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности, фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические один к одному соответствуют нетривиальным классам сопряжённости элементов в фуксовой группе поверхности.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: