Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

26.02.2021

Метод непосредственного применения правил Кирхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум правилам Кирхгофа и последующем их решении.

Описание метода расчета

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У — 1) независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа и К = (В — У + 1) независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (то есть содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам/контурам).

Для решения составленной системы линейных алгебраических уравнений можно воспользоваться матричной формой

A I = B E {displaystyle AI=BE} ,

где

A {displaystyle A} и B {displaystyle B} — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B; I {displaystyle I} и E {displaystyle E} — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

I = A − 1 B E = G E {displaystyle I=A^{-1}BE=GE} ,

— обратная матрица; Δ {displaystyle Delta } — определитель матрицы A; Δ i k {displaystyle Delta _{ik}} — алгебраические дополнения элементов a i k {displaystyle a_{ik}} (см. способы нахождения обратной матрицы).

G = A − 1 B = [ g 11 g 12 ⋯ g 1 B g 21 g 22 ⋯ g 2 B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ g B 1 g B 2 ⋯ g B B ] {displaystyle G=A^{-1}B={egin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&cdots &g_{1B}g_{21}&g_{22}&cdots &g_{2B}vdots &vdots &ddots &vdots g_{B1}&g_{B2}&cdots &g_{BB}end{bmatrix}}}

— матрица собственных g i i {displaystyle g_{ii}} и взаимных g i k {displaystyle g_{ik}} проводимостей (см. метод наложения).

{ I 1 = g 11 E 1 + g 12 E 2 + ⋯ + g 1 B E B ; I 2 = g 21 E 1 + g 22 E 2 + ⋯ + g 2 B E B ; ⋮ I B = g B 1 E 1 + g B 2 E 2 + ⋯ + g B B E B ; {displaystyle left{{egin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+cdots +g_{1B}E_{B};I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+cdots +g_{2B}E_{B};vdots I_{B}=g_{B1}E_{1}+g_{B2}E_{2}+cdots +g_{BB}E_{B};end{matrix}} ight.}

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

Пример использования метода

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, то есть К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей I 1 {displaystyle I_{1}} , I 2 {displaystyle I_{2}} , I 3 {displaystyle I_{3}} (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У − 1 = 2 − 1 = 1) независимое уравнение, например для узла a

− I 1 − I 2 + I 3 = 0 {displaystyle -I_{1}-I_{2}+I_{3}=0} ,

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например, для контуров 1 и 2

r 1 I 1 + r 3 I 3 = E 1 + E 2 {displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2}} ; r 2 I 2 + r 3 I 3 = E 2 + E 3 {displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3}} .

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

Y − 1 {   K {     [ 1 1 − 1 r 1 0 r 3 0 r 2 r 3 ] [ I 1 I 2 I 3 ] = A I = [ 0 0 0 1 0 1 0 1 1 ] [ E 1 E 2 E 3 ] = B E {displaystyle {egin{matrix}Y-1&left{~ ight.K&left{{egin{matrix}~~end{matrix}} ight.end{matrix}}{egin{bmatrix}1&1&-1r_{1}&0&r_{3}&r_{2}&r_{3}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}I_{1}I_{2}I_{3}end{bmatrix}}=AI={egin{bmatrix}0&0&01&0&1&1&1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}E_{1}E_{2}E_{3}end{bmatrix}}=BE}

или

Теперь составим систему уравнений токов:

{ I 1 = g 11 E 1 + g 12 E 2 + g 13 E 3 ; I 2 = g 21 E 1 + g 22 E 2 + g 23 E 3 ; I 3 = g 31 E 1 + g 32 E 2 + g 33 E 3 , {displaystyle left{{egin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_{2}+g_{33}E_{3},end{matrix}} ight.}

где

g 11 = ( r 2 + r 3 ) / r 2 {displaystyle g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}} ; g 22 = ( r 1 + r 3 ) / r 2 {displaystyle g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2}} ; g 33 = ( r 1 + r 2 ) / r 2 {displaystyle g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2}} ; g 12 = g 21 = − r 3 / r 2 {displaystyle g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2}} ; g 13 = g 31 = r 2 / r 2 {displaystyle g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2}} ; g 23 = g 32 = r 1 / r 2 {displaystyle g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2}} ; r = r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 {displaystyle r={sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}} .

Расчёт цепей с источниками тока

При расчёте схем замещения с источниками тока возможны упрощения, поскольку токи ветвей с источниками тока известны, и рассчитывать их не нужно. Поэтому число независимых контуров (без источников тока), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = (В — В J {displaystyle _{J}} — У + 1), где В J {displaystyle _{J}} — число ветвей с источниками тока.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: