Класс Понтрягина

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Класс Понтрягина

05.02.2021

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения ξ {displaystyle xi } с базой B {displaystyle B} классы Понтрягина обозначаются символом p i ( ξ ) ∈ H 4 i ( B ) {displaystyle p_{i}(xi )in H^{4i}(B)} и полагаются равными

p i ( ξ ) = ( − 1 ) i c 2 i ( ξ ⊗ C ) {displaystyle p_{i}(xi )=(-1)^{i}c_{2i}(xi otimes mathbb {C} )} ,

где ξ ⊗ C {displaystyle xi otimes mathbb {C} } — комплексификация расслоения ξ {displaystyle xi } , a c i {displaystyle c_{i}} — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

p ( ξ ) = 1 + p 1 ( ξ ) + p 2 ( ξ ) + … {displaystyle p(xi )=1+p_{1}(xi )+p_{2}(xi )+dots } .

Если B {displaystyle B} — гладкое многообразие и расслоение ξ {displaystyle xi } явно не указывается, то предполагается что ξ {displaystyle xi } есть касательное расслоение B {displaystyle B} .

Свойства

  • Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и A ^ {displaystyle {hat {A}}} -класс.
  • Если ξ {displaystyle xi } , η {displaystyle eta } — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
    p ( ξ ⊕ η ) − p ( ξ ) p ( η ) {displaystyle p(xi oplus eta )-p(xi )p(eta )} имеет порядок не больше двух.
    • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
      p ( ξ ⊕ η ) = p ( ξ ) p ( η ) {displaystyle p(xi oplus eta )=p(xi )p(eta )} .
  • Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
    • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
  • Для 2k-мерного расслоения ξ {displaystyle xi } справедливо равенство
    p k ( ξ ) = e ( ξ ) 2 , {displaystyle p_{k}(xi )=e(xi )^{2},}
    где e ( ξ ) {displaystyle e(xi )} обозначает класс Эйлера.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: