Правило Рунге

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Правило Рунге

31.01.2021

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Применение правила Рунге

Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
Δ 2 n ≈ Θ | I 2 n − I n | {displaystyle Delta _{2n}approx Theta |I_{2n}-I_{n}|} , для формул прямоугольников и трапеций Θ = 1 3 {displaystyle Theta ={frac {1}{3}}} , а для формулы Симпсона Θ = 1 15 {displaystyle Theta ={frac {1}{15}}} .

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов N = n 0 , 2 n 0 , 4 n 0 , … {displaystyle N=n_{0},2n_{0},4n_{0},dots } , где n 0 {displaystyle n_{0}} — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие Δ 2 n < ε {displaystyle Delta _{2n}<varepsilon } , где ε {displaystyle varepsilon } — заданная точность.

Оценка точности численного решения ОДУ

Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h ( y i , h {displaystyle y_{i,h}} ) и второй — с шагом h/2 ( y i , h / 2 {displaystyle y_{i,h/2}} ). Формула

| y i , h − y i , h / 2 | 2 p − 1 {displaystyle {|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} over {2^{p}-1}}

дает погрешность решения y i , h / 2 {displaystyle y_{i,h/2}} . Под p {displaystyle p} понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:

1 15 | y i , h − y i , h / 2 | {displaystyle {1 over 15}|y_{i,h}-y_{i,h/2}|}


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: