Смешанное уравнение

Смешанные уравнения (уравнения смешанного типа) — класс дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, являющихся гиперболическими в одной области пространства переменных и эллиптическими — в другой. Эти области разделены линией (в случае двух независимых переменных) или поверхностью (в случае трёх и более независимых переменных), в точках которой уравнение относится к параболическому типу или не определено. Эта линия (поверхность) называется линией (поверхностью) смены типа или линией (поверхностью) вырождения.

В случае двух независимых переменных линия вырождения является дискриминантной кривой уравнения характеристик. Широкий класс этих уравнений может быть представлен в виде: y ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 + a ( x , y ) ∂ z ∂ x + b ( x , y ) ∂ z ∂ y + c ( x , y ) z + d ( x , y ) = 0. {displaystyle y{frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}+a(x,y){frac {partial z}{partial x}}+b(x,y){frac {partial z}{partial y}}+c(x,y)z+d(x,y)=0.}

По сравнению с уравнениями гиперболического, эллиптического и параболического типов, теория смешанных уравнений имеет сравнительно недолгую историю. Впервые смешанные уравнения с двумя независимыми переменными были систематически исследованы итальянскими математиками Ф. Трикоми и М. Чибрарио. В СССР уравнения смешанного типа изучались многими математиками, в частности, им уделялось большое внимание в школах М. А. Лаврентьева и А. В. Бицадзе. Уравнения смешанного типа нашли многочисленные применения — например, в задачах, связанных с трансзвуковой газовой динамикой.

Уравнение Трикоми

Простейший пример смешанного уравнения — уравнение Трикоми (иногда называемое также уравнением Эйлера — Трикоми):

u x x = x u y y {displaystyle u_{xx}=xu_{yy}} ,

относящееся к гиперболическому типу в области x > 0 {displaystyle x>0} и к эллиптическому типу — в области x < 0. {displaystyle x<0.} Линия смены типа уравнения Трикоми совпадает с осью y, а уравнение характеристик совпадает с так называемой нормальной формой Чибрарио. Характеристики образуют семейство полукубических парабол, лежащих в гиперболической области с точками возврата на линии смены типа.