Поток векторного поля

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Поток векторного поля

18.12.2020

В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:

  • Поток векторного поля через поверхность (см. ниже)
  • Фазовый поток — поток векторного поля A → {displaystyle {vec {A}}} — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γ t {displaystyle Gamma _{t}} , определяемых дифференциальным уравнением A → ( Γ t ( x ) ) = d Γ t ( x ) d t {displaystyle {vec {A}}(Gamma _{t}(x))={frac {dGamma _{t}(x)}{dt}}} .

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности S {displaystyle S} . По определению,

Φ F = ∬ S F ⋅ n d S {displaystyle {{Phi }_{F}}=iint limits _{S}{mathbf {F} cdot mathbf {n} ,dS}} ,

где F = F ( X ) {displaystyle mathbf {F} =mathbf {F(X)} } — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), n {displaystyle mathbf {n} } — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы n {displaystyle mathbf {n} } было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), d S {displaystyle dS} — элемент поверхности.

  • В трёхмерном случае X = ( x , y , z ) , F = F ( X ) = ( F x ( X ) , F y ( X ) , F z ( X ) ) {displaystyle mathbf {X} =(x,y,z),mathbf {F} =mathbf {F(X)} =left(F_{x}(mathbf {X} ),F_{y}(mathbf {X} ),F_{z}(mathbf {X} ) ight)} , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение

d S = n d S {displaystyle dmathbf {S} =mathbf {n} ,dS} .

тогда поток записывается в виде

Φ F = ∬ S F ⋅ d S {displaystyle {{Phi }_{F}}=iint limits _{S}{mathbf {F} cdot dmathbf {S} }} .

Физическая интерпретация

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения v = v ( x , y , z ) {displaystyle mathbf {v} =mathbf {v} (x,y,z)} . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность S {displaystyle S} , будет равен потоку векторного поля v {displaystyle mathbf {v} } .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: