Соленоид Смейла — Вильямса

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Определение

Отображением соленоида называют отображение

F : S 1 × D → S 1 × D {displaystyle F:S^{1} imes D o S^{1} imes D}

полнотория в себя, заданное как

F ( φ , z ) = ( 2 φ , 1 2 e i φ + 1 10 z ) . {displaystyle F(varphi ,z)=(2varphi ,{frac {1}{2}}e^{ivarphi }+{frac {1}{10}}z).}

Здесь диск D {displaystyle D} для удобства рассматривается как единичный диск на комплексной плоскости: D = { | z | ≤ 1 } {displaystyle D={|z|leq 1}} .

Максимальный аттрактор A m a x ( F ) {displaystyle A_{max}(F)} этого отображения (как и всю соответствующую динамическую систему) называют соленоидом Смейла — Вильямса.

Свойства

• Отображение соленоида гиперболично.
• Сам соленоид оказывается гомеоморфен множеству, получаемому при реализации процедуры надстройки над одометром — отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{2}} .
• Динамика на соленоиде допускает символическое кодирование: точке соленоида можно (почти взаимно-однозначно) сопоставить двусторонне-бесконечным последовательностям нулей и единиц, причём применению отображения будет соответствовать левый сдвиг на пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.