Модель авторегрессии и распределённого лага

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Модель авторегрессии и распределённого лага

17.12.2020

Модель авторегрессии и распределённого лага (ADL-модель, англ. autoregressive distributed lags) — модель временного ряда, в которой текущие значения ряда зависят как от прошлых значений этого ряда, так и от текущих и прошлых значений других временных рядов. Модель A D L ( p , q ) {displaystyle ADL(p,q)} с одной экзогенной переменной имеет вид:

y t = a 0 + ∑ i = 1 p a i y t − i + ∑ j = 0 q b j x t − j + ε t {displaystyle y_{t}=a_{0}+sum _{i=1}^{p}a_{i}y_{t-i}+sum _{j=0}^{q}b_{j}x_{t-j}+varepsilon _{t}}

Модель A D L ( p , 0 ) {displaystyle ADL(p,0)} — это модель авторегрессии AR(p) (в общем случае, возможно с экзогенной переменной без лагов), а модель A D L ( 0 , q ) {displaystyle ADL(0,q)} — это модель распределённого лага D L ( q ) {displaystyle DL(q)} .

Модель обобщается на случай нескольких экзогенных переменных x {displaystyle x} . В этом случае возможно обозначение модели A D L ( p , q 1 , q 2 , … , q k ) {displaystyle ADL(p,q_{1},q_{2},dots ,q_{k})} , где k {displaystyle k} — количество экзогенных переменных, q i {displaystyle q_{i}} -количество лагов i {displaystyle i} -ой переменной, входящих в модель. В общем случае, можно считать, что все экзогенные переменные включены в модель с одинаковым количеством лагов, а исключение какого-либо лага некоторых переменных означает лишь ограничение на модель. Поэтому иногда используют обозначение A D L ( p , q ; k ) {displaystyle ADL(p,q;k)} , k {displaystyle k} — количество экзогенных переменных, q {displaystyle q} — количество лагов. Наложение ограничений на коэффициенты этой модели приводит к тем или иным вариациям. В таком обозначении, классическая модель A D L ( p , q ) {displaystyle ADL(p,q)} будет обозначаться как A D L ( p , q ; 1 ) {displaystyle ADL(p,q;1)} .

На практике для оценки подобных моделей часто используют методологию Бокса-Дженкинса для оценки авторегрессии и специальные приёмы для упрощения оценки распределённого лага

Операторное представление

С помощью лагового оператора L :   L x t = x t − 1 {displaystyle L:~Lx_{t}=x_{t-1}} модели авторегрессии и распределённого лага можно записать следующим образом:

y t = a 0 + ( ∑ i = 1 p a i L i ) y t + ( ∑ j = 0 q b j L j ) x t + ε t {displaystyle y_{t}=a_{0}+(sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})y_{t}+(sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})x_{t}+varepsilon _{t}}

Или в сокращённой форме:

a ( L ) y t = a 0 + b ( L ) x t + ε t ,     a ( L ) = 1 − ( ∑ i = 1 p a i L i ) ,     b ( L ) = ( ∑ j = 0 q b j L j ) {displaystyle a(L)y_{t}=a_{0}+b(L)x_{t}+varepsilon _{t},~~a(L)=1-(sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}),~~b(L)=(sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})}

Если корни характеристического авторегрессионного полинома a ( z ) {displaystyle a(z)} лежат вне единичного круга (в комплексной плоскости), то ADL-модель можно представить в виде модели бесконечного распределённого лага:

y t = a 0 a ( L ) + b ( L ) a ( L ) x t + ε t {displaystyle y_{t}={frac {a_{0}}{a(L)}}+{frac {b(L)}{a(L)}}x_{t}+varepsilon _{t}}

Если в это выражение подставить вместо лагового оператора L {displaystyle L} значение 1, получим модель долгосрочной зависимости между переменными y {displaystyle y} и x {displaystyle x} :

y t ∗ = a 0 a ( 1 ) + b ( 1 ) a ( 1 ) x t ∗ + ε t = a 0 1 − ∑ i = 1 p a i + ∑ j = 0 q b j 1 − ∑ i = 1 p a i x t ∗ + ε t {displaystyle y_{t}^{*}={frac {a_{0}}{a(1)}}+{frac {b(1)}{a(1)}}x_{t}^{*}+varepsilon _{t}={frac {a_{0}}{1-sum _{i=1}^{p}a_{i}}}+{frac {sum _{j=0}^{q}b_{j}}{1-sum _{i=1}^{p}a_{i}}}x_{t}^{*}+varepsilon _{t}}

Коэффициент при экзогенной переменной называется долгосрочным мультипликатором. Содержательная интерпретация этого следующая. Модели распределённого лага (DL-модели) позволяют учесть запаздывающее влияние факторов (наряду с текущим). Коэффициенты DL-модели b j {displaystyle b_{j}} называют импульсными мультипликаторами. Они показывают влияние запаздыванием на j {displaystyle j} периодов на эндогенную переменную. Однако в каждый момент времени оказывают влияние несколько лаговых значений фактора, поэтому в долгосрочной перспективе коэффициент влияния фактора (долгосрочный мультипликатор) равен сумме импульсных мультипликаторов. Добавление к модели распределённого лага авторегрессионной части позволяет учесть кроме прямого влияния и опосредованное — через влияние прошлых значений зависимой переменной на её же будущие значения. Знаменатель в формуле долгосрочного мультипликатора и учитывает авторегрессионное увеличение мультипликативного эффекта.

Исходя из наличия долгосрочной модели модель ADL можно представить в несколько ином виде — в ECM-представлении (англ. error correction model — модель коррекции ошибок):

△ y t = ∑ i = 1 p − 1 α i △ y t − i + ∑ j = 0 q − 1 β j △ x t − j − a ( 1 ) ( y t − 1 − a 0 a ( 1 ) − b ( 1 ) a ( 1 ) x t − 1 ) + ε t {displaystyle riangle y_{t}=sum _{i=1}^{p-1}alpha _{i} riangle y_{t-i}+sum _{j=0}^{q-1}eta _{j} riangle x_{t-j}-a(1)(y_{t-1}-{frac {a_{0}}{a(1)}}-{frac {b(1)}{a(1)}}x_{t-1})+varepsilon _{t}}

Выражение в скобках отражает отклонение от долгосрочной зависимости в предыдущий момент времени. Остальная часть уравнения отражает краткосрочную зависимость. Таким образом, в таком представлении видно, что краткосрочная динамика корректируется в зависимости от степени отклонения от долгосрочной.

Пример

Рассмотрим модель A D L ( 1 , 1 ) {displaystyle ADL(1,1)} :

y t = a 0 + a 1 y t − 1 + b 0 x t + b 1 x t − 1 + ε t {displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+varepsilon _{t}}

ECM-представление данной модели имеет вид:

△ y t = b 0 △ x t + ( 1 − a 1 ) ( y t − 1 − a 0 1 − a 1 − b 0 + b 1 1 − a 1 x t − 1 ) + ε t {displaystyle riangle y_{t}=b_{0} riangle x_{t}+(1-a_{1})(y_{t-1}-{frac {a_{0}}{1-a_{1}}}-{frac {b_{0}+b_{1}}{1-a_{1}}}x_{t-1})+varepsilon _{t}}

Таким образом краткосрочная зависимость выражается коэффициентом b 0 {displaystyle b_{0}} реакции на изменение фактора по сравнению с прошлым периодом. Однако, такая реакция корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. Долгосрочный мультипликатор в данном случае равен ( b 0 + b 1 ) / ( 1 − a 1 ) {displaystyle (b_{0}+b_{1})/(1-a_{1})}


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: