Уравнение Мещерского

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Уравнение Мещерского

17.12.2020

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году для материальной точки переменной массы (состава).

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

M ( t ) d v d t = u 1 ( t ) d m 1 d t − u 2 ( t ) d m 2 d t + F , {displaystyle M(t){frac {dmathbf {v} }{dt}}=mathbf {u} _{1}(t){frac {dm_{1}}{dt}}-mathbf {u} _{2}(t){frac {dm_{2}}{dt}}+mathbf {F} ,}

где:

  • M ( t ) {displaystyle M(t)} — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;
  • v {displaystyle mathbf {v} } — скорость движения материальной точки переменной массы;
  • F {displaystyle mathbf {F} } — результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
  • u 1 ( t ) = v 1 − v {displaystyle mathbf {u} _{1}(t)=mathbf {v} _{1}-mathbf {v} } — относительная скорость присоединяющихся частиц;
  • u 2 ( t ) = v 2 − v {displaystyle mathbf {u} _{2}(t)=mathbf {v} _{2}-mathbf {v} } — относительная скорость отделяющихся частиц;
  • d m 1 d t > 0 {displaystyle {frac {dm_{1}}{dt}}>0} и d m 2 d t > 0 {displaystyle {frac {dm_{2}}{dt}}>0} — скорость увеличения суммарной массы присоединившихся частиц и скорость увеличения суммарной массы отделившихся частиц соответственно.

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.

Величина:

F r = u 1 d m 1 d t − u 2 d m 2 d t {displaystyle mathbf {F} _{r}=mathbf {u} _{1}{frac {dm_{1}}{dt}}-mathbf {u} _{2}{frac {dm_{2}}{dt}}}

называется «реактивной силой».

Обычно уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:

d P → d t = F → , {displaystyle {frac {d{vec {P}}}{dt}}={vec {F}},}

где P → {displaystyle {vec {P}}} — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а F → {displaystyle {vec {F}}} — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.

Вывод уравнения Мещерского

Рассмотрим тело переменной массы M = M ( t ) {displaystyle M=M(t)} . Пусть за промежуток времени d t {displaystyle dt} к телу присоединяется малая масса d m 1 {displaystyle dm_{1}} , имевшая до присоединения скорость v → 1 {displaystyle {vec {v}}_{1}} , и отделяется малая масса d m 2 {displaystyle dm_{2}} , скорость которой после отделения становится равной v → 2 {displaystyle {vec {v}}_{2}} . В качестве интересующей нас системы будем рассматривать все три упомянутые тела.

В соответствии с законом сохранения импульса импульс системы в начале и конце рассматриваемого процесса одинаков:

M v → + d m 1 v → 1 = M v → + d ( M v → ) + d m 2 v → 2 , ( 1 ) {displaystyle M{vec {v}}+dm_{1}{vec {v}}_{1}=M{vec {v}}+d(M{vec {v}})+dm_{2}{vec {v}}_{2},qquad (1)}

где d ( M v → ) {displaystyle d(M{vec {v}})} — изменение импульса основного тела, обусловленное как изменением его скорости, так и изменением его массы.

Учитывая, что d ( M v → ) = d M v → + M d v → {displaystyle d(M{vec {v}})=dM{vec {v}}+Md{vec {v}}} , из (1) получаем:

d m 1 v → 1 = d M v → + M d v → + d m 2 v → 2 . ( 2 ) {displaystyle dm_{1}{vec {v}}_{1}=dM{vec {v}}+Md{vec {v}}+dm_{2}{vec {v}}_{2}.qquad (2)}

Изменение массы основного тела d M {displaystyle dM} связано с d m 1 {displaystyle dm_{1}} и d m 2 {displaystyle dm_{2}} соотношением d M = d m 1 − d m 2 {displaystyle dM=dm_{1}-dm_{2}} , поэтому из (2) следует:

d m 1 ( v → 1 − v → ) = M d v → + d m 2 ( v → 2 − v → ) . ( 3 ) {displaystyle dm_{1}({vec {v}}_{1}-{vec {v}})=Md{vec {v}}+dm_{2}({vec {v}}_{2}-{vec {v}}).qquad (3)}

После перехода от дифференциалов к производным и перегруппировки слагаемых (3) приобретает вид:

M d v → d t = d m 1 d t ( v → 1 − v → ) − d m 2 d t ( v → 2 − v → ) . ( 4 ) {displaystyle M{frac {d{vec {v}}}{dt}}={frac {dm_{1}}{dt}}({vec {v}}_{1}-{vec {v}})-{frac {dm_{2}}{dt}}({vec {v}}_{2}-{vec {v}}).qquad (4)}

Введя относительные скорости частиц u → 1 {displaystyle {vec {u}}_{1}} и u → 2 {displaystyle {vec {u}}_{2}} , равные соответственно ( v → 1 − v → ) {displaystyle ({vec {v}}_{1}-{vec {v}})} и ( v → 2 − v → ) {displaystyle ({vec {v}}_{2}-{vec {v}})} , и добавив равнодействующую внешних сил F → {displaystyle {vec {F}}} , получим уравнение Мещерского в окончательном виде.

Релятивистское уравнение Мещерского

Первыми работами, посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета и Зенгера.

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса p → = m v → 1 − v 2 / c 2 {displaystyle {vec {p}}={frac {m{vec {v}}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} . В результате уравнение приобретает вид:

d d t ( M v → 1 − v 2 / c 2 ) = v → 1 ⋅ d d t ( m 1 1 − v 2 / c 2 ) − v → 2 ⋅ d d t ( m 2 1 − v 2 / c 2 ) . {displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {M{vec {v}}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} ight)={vec {v}}_{1}cdot {frac {d}{dt}}left({frac {m_{1}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} ight)-{vec {v}}_{2}cdot {frac {d}{dt}}left({frac {m_{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} ight).}

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости ( v → 1 − v → ) {displaystyle ({vec {v}}_{1}-{vec {v}})} и ( v → 2 − v → ) {displaystyle ({vec {v}}_{2}-{vec {v}})} , так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:

M d v d t = − ( 1 − v 2 c 2 ) u d M d t , {displaystyle M{frac {dv}{dt}}=-left(1-{frac {v^{2}}{c^{2}}} ight)u{frac {dM}{dt}},}

где u = v 2 − v 1 − v 2 ⋅ v / c 2 {displaystyle u={frac {v_{2}-v}{1-v_{2}cdot v/c^{2}}}} — скорость частиц относительно ракеты.

История открытия

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году.

Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенным в его докторской диссертации и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами», аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: