Выпуклый многоугольник

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Выпуклый многоугольник

16.12.2020

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Определения

Существует множество эквивалентных определений:

  • многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
  • многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
  • многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
  • многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
  • многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него;
  • выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
  • ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Примеры

  • Любой треугольник является выпуклым.

Площадь выпуклого многоугольника

  • Пусть { ( X i , Y i ) } , i = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle {(X_{i},Y_{i})},i=1,2,...,n} последовательность координат соседних друг другу вершин n {displaystyle n} -угольника без самопересечений. Тогда его площадь вычисляется по формуле:
S = 1 2 | ∑ i = 1 n ( X i + X i + 1 ) ( Y i − Y i + 1 ) | {displaystyle S={frac {1}{2}}left|sum limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1}) ight|} , где ( X n + 1 , Y n + 1 ) = ( X 1 , Y 1 ) {displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})} .

Вариации и обобщения

  • Выпуклое множество
  • Аналогом выпуклого многоугольника в трёхмерном евклидовом пространстве является выпуклый многогранник.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: