Выпуклый многоугольник

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Определения

Существует множество эквивалентных определений:

• многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
• многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
• многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
• многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
• многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него;
• выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
• ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Примеры

• Любой треугольник является выпуклым.

Площадь выпуклого многоугольника

• Пусть { ( X i , Y i ) } , i = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle {(X_{i},Y_{i})},i=1,2,...,n} последовательность координат соседних друг другу вершин n {displaystyle n} -угольника без самопересечений. Тогда его площадь вычисляется по формуле:

S = 1 2 | ∑ i = 1 n ( X i + X i + 1 ) ( Y i − Y i + 1 ) | {displaystyle S={frac {1}{2}}left|sum limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1}) ight|} , где ( X n + 1 , Y n + 1 ) = ( X 1 , Y 1 ) {displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})} .

Вариации и обобщения

• Выпуклое множество
• Аналогом выпуклого многоугольника в трёхмерном евклидовом пространстве является выпуклый многогранник.