Число Лефшеца

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Число Лефшеца

15.12.2020

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Определение

Пусть X {displaystyle X} — топологическое пространство, f : X → X {displaystyle f:X o X} — непрерывное отображение, H ∗ ( X , k ) {displaystyle H_{*}(X,k)} — группы гомологий X {displaystyle X} с коэффициентами в поле k {displaystyle k} . Пусть t n {displaystyle t_{n}} — след линейного преобразования

f ∗ : H n ( X , k ) → H n ( X , k ) {displaystyle f_{*}:H_{n}(X,k) o H_{n}(X,k)}

По определению, число Лефшеца отображения f {displaystyle f} есть

Λ ( f , X ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t n {displaystyle Lambda (f,X)=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}t_{n}}

Свойства

  • Число Лефшеца определено если общий ранг групп H ∗ ( X , k ) {displaystyle H_{*}(X,k)} конечен, и в этом случае не зависит от выбора k {displaystyle k} .
  • Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике X {displaystyle X} .

Формула Лефшеца

Пусть X {displaystyle X} — связное ориентируемое n {displaystyle n} -мерное компактное топологическое многообразие или n {displaystyle n} -мерный конечный клеточный комплекс, f : X → X {displaystyle f:X o X} — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения f : X → X {displaystyle f:X o X} изолированы.

Для каждой неподвижной точки x ∈ X {displaystyle xin X} , обозначим через i ( x ) {displaystyle i(x)} её индекс Кронекера (локальная степень отображения f {displaystyle f} в окрестности точки x {displaystyle x} ). Тогда формула Лефшеца для X {displaystyle X} и f {displaystyle f} имеет вид

∑ { x | f ( x ) = x } i ( x ) = Λ ( f , X ) . {displaystyle sum _{{x|f(x)=x}}i(x)=Lambda (f,X).}
  • В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

История

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения n {displaystyle n} -мерной сферы в себя.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: