Теорема Рауса — Гурвица

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Теорема Рауса — Гурвица

15.12.2020

Теорема Рауса — Гурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица.

Условные обозначения

Пусть f ( z ) {displaystyle f(z)} — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени n {displaystyle n} . При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии z = i c {displaystyle z=ic} где i {displaystyle i} — мнимая единица и c {displaystyle c} — вещественное число). Давайте обозначим P 0 ( y ) {displaystyle P_{0}(y)} (многочлен степени n {displaystyle n} ) и P 1 ( y ) {displaystyle P_{1}(y)} (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем n {displaystyle n} ) через f ( i y ) = P 0 ( y ) + i P 1 ( y ) {displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)} , относительно вещественной и мнимой части f {displaystyle f} мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

  • p {displaystyle p} — число корней f {displaystyle f} в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  • q {displaystyle q} — число корней f {displaystyle f} в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  • Δ arg ⁡ f ( i y ) {displaystyle Delta arg f(iy)} — изменение аргумента f ( i y ) {displaystyle f(iy)} , когда y {displaystyle y} пробегает от − ∞ {displaystyle -infty } до + ∞ {displaystyle +infty } ;
  • w ( x ) {displaystyle w(x)} — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из P 0 ( y ) {displaystyle P_{0}(y)} и P 1 ( y ) {displaystyle P_{1}(y)} с помощью алгоритма Евклида;
  • I − ∞ + ∞ r ( x ) {displaystyle I_{-infty }^{+infty }r(x)} — индекс Коши рациональной функции r ( x ) {displaystyle r(x)} на вещественной прямой.

Пусть f ( z ) {displaystyle f(z)} — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. f {displaystyle f} он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим f {displaystyle f} в сумму:

f ( z ) = g ( z 2 ) + z h ( z ) {displaystyle f(z)=g(z^{2})+zh(z)} .

Обозначим коэффициенты g {displaystyle g} как a j 0 {displaystyle a_{j}^{0}} , а h {displaystyle h} — как a j 1 {displaystyle a_{j}^{1}} . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена g {displaystyle g} является a 0 0 {displaystyle a_{0}^{0}} .

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

p − q = 1 π Δ arg ⁡ f ( i y ) = − I − ∞ + ∞ P 1 ( y ) P 0 ( y ) = w ( + ∞ ) − w ( − ∞ ) . {displaystyle p-q={frac {1}{pi }}Delta arg f(iy)=-I_{-infty }^{+infty }{frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}=w(+infty )-w(-infty ).}

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента f ( i y ) {displaystyle f(iy)} положительно, тогда f ( z ) {displaystyle f(z)} имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство p − q = w ( + ∞ ) − w ( − ∞ ) {displaystyle p-q=w(+infty )-w(-infty )} может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть p + q {displaystyle p+q} , а w {displaystyle w} из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае w {displaystyle w} относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

H f = ( a 1 a 3 … a 1 + 2 ⋅ [ n − 1 2 ] a 0 a 2 … a 2 ⋅ [ n 2 ] a 1 a 3 … a 1 + 2 ⋅ [ n − 1 2 ] a 0 a 2 … a 2 ⋅ [ n 2 ] ⋮ ⋮ … a n ) , {displaystyle H_{f}={egin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&dots &a_{1+2cdot [{frac {n-1}{2}}]}&&a_{0}&a_{2}&dots &a_{2cdot [{frac {n}{2}}]}&&&a_{1}&a_{3}&dots &a_{1+2cdot [{frac {n-1}{2}}]}&&a_{0}&a_{2}&dots &a_{2cdot [{frac {n}{2}}]}&&vdots &&&vdots &&&&&dots &a_{n}end{pmatrix}},}

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если f {displaystyle f} — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами g {displaystyle g} и h {displaystyle h} , определяет последовательность a 0 1 , a 0 2 , … , a 0 n {displaystyle a_{0}^{1},a_{0}^{2},dots ,a_{0}^{n}} ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если f {displaystyle f} — многочлен Гурвица, и наоборот.

  • Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
  • Обратите также внимание, что в записи a 0 i {displaystyle a_{0}^{i}} число i {displaystyle i} — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице H f {displaystyle H_{f}} , мы получим диагональную матрицу H f ∗ {displaystyle H_{f}^{*}} . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы h j , j ∗ {displaystyle h_{j,j}^{*}} трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу H f {displaystyle H_{f}} , мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты h j , j ∗ {displaystyle h_{j,j}^{*}} соответствуют коэффициентам a 0 j {displaystyle a_{0}^{j}} , мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как f ( z ) {displaystyle f(z)} — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда p − q = n {displaystyle p-q=n} . Таким образом получаем условия на коэффициенты f ( z ) {displaystyle f(z)} , накладывая дополнительные условия w ( + ∞ ) = n {displaystyle w(+infty )=n} и w ( − ∞ ) = 0 {displaystyle w(-infty )=0} .

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: