Тригонометрические функции от матрицы

Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.

Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка. Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:

sin ⁡ X = X − X 3 3 ! + X 5 5 ! − X 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! X 2 n + 1 cos ⁡ X = I − X 2 2 ! + X 4 4 ! − X 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! X 2 n {displaystyle {egin{aligned}sin X&=X-{frac {X^{3}}{3!}}+{frac {X^{5}}{5!}}-{frac {X^{7}}{7!}}+cdots &=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}cos X&=I-{frac {X^{2}}{2!}}+{frac {X^{4}}{4!}}-{frac {X^{6}}{6!}}+cdots &=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}end{aligned}}}

где Xn означает матрицу X в степени n, а I — единичную матрицу той же размерности.

Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера eiX = cos X + i sin X:

sin ⁡ X = e i X − e − i X 2 i cos ⁡ X = e i X + e − i X 2 . {displaystyle {egin{aligned}sin X&={e^{iX}-e^{-iX} over 2i}cos X&={e^{iX}+e^{-iX} over 2}.end{aligned}}}

Например, пусть X — стандартная матрица Паули:

σ 1 = σ x = ( 0 1 1 0 )   , {displaystyle sigma _{1}=sigma _{x}={egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}~,}

Тогда

sin ⁡ ( θ σ 1 ) = sin ⁡ ( θ )   σ 1 , cos ⁡ ( θ σ 1 ) = cos ⁡ ( θ )   I   , {displaystyle sin( heta sigma _{1})=sin( heta )~sigma _{1},qquad cos( heta sigma _{1})=cos( heta )~I~,}

Можно вычислить и кардинальный синус:

sinc ⁡ ( θ σ 1 ) = sinc ⁡ ( θ )   I . {displaystyle operatorname {sinc} ( heta sigma _{1})=operatorname {sinc} ( heta )~I.}

Свойства

Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:

sin 2 ⁡ X + cos 2 ⁡ X = I {displaystyle sin ^{2}X+cos ^{2}X=I}

Если X является диагональной матрицей, sin X и cos X также являются диагональными матрицами, причём (sin X)nn = sin(Xnn) и (cos X)nn = cos(Xnn), то есть синус и косинус диагональной матрицы могут быть вычислены путём вычисления соответственно синусов и косинусов элементов аргумента на главной диагонали.

Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрицы коммутируют, то есть XY = YX:

sin ⁡ ( X ± Y ) = sin ⁡ X cos ⁡ Y ± cos ⁡ X sin ⁡ Y cos ⁡ ( X ± Y ) = cos ⁡ X cos ⁡ Y ∓ sin ⁡ X sin ⁡ Y {displaystyle {egin{aligned}sin(Xpm Y)=sin Xcos Ypm cos Xsin Ycos(Xpm Y)=cos Xcos Ymp sin Xsin Yend{aligned}}}

Другие функции

Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:

arcsin ⁡ X = − i ln ⁡ ( i X + I − X 2 ) {displaystyle arcsin X=-iln left(iX+{sqrt {I-X^{2}}} ight)} (см. Обратные тригонометрические функции#Связь с натуральным логарифмом, Матричный логарифм, Квадратный корень из матрицы) sinh ⁡ X = e X − e − X 2 cosh ⁡ X = e X + e − X 2 {displaystyle {egin{aligned}sinh X&={e^{X}-e^{-X} over 2}cosh X&={e^{X}+e^{-X} over 2}end{aligned}}}

и так далее.