Теорема Ферма — Эйлера

Теорема Ферма — Эйлера, или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов, гласит:

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

5 = 1 2 + 2 2 {displaystyle 5=1^{2}+2^{2}} , 13 = 2 2 + 3 2 {displaystyle 13=2^{2}+3^{2}} , 17 = 1 2 + 4 2 {displaystyle 17=1^{2}+4^{2}} , 29 = 2 2 + 5 2 {displaystyle 29=2^{2}+5^{2}} , 37 = 1 2 + 6 2 {displaystyle 37=1^{2}+6^{2}} , 41 = 4 2 + 5 2 {displaystyle 41=4^{2}+5^{2}} .

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения.

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром:

Инволюция конечного множества S = { ( x , y , z ) ∈ N 3 : x 2 + 4 y z = p } {displaystyle S={(x,y,z)in mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p}} , определённая как

( x , y , z ) → { ( x + 2 z , z , y − x − z ) , x < y − z ( 2 y − x , y , x − y + z ) , y − z < x < 2 y ( x − 2 y , x − y + z , y ) , x > 2 y {displaystyle (x,y,z) ightarrow {egin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&x<y-z(2y-x,y,x-y+z),&y-z<x<2y(x-2y,x-y+z,y),&x>2yend{cases}}}

имеет ровно одну неподвижную точку (а именно ( 1 , 1 , k ) {displaystyle (1,1,k)} , так как p = 4 k + 1 {displaystyle p=4k+1} — простое), так что | S | {displaystyle |S|} нечётно и инволюция ( x , y , z ) → ( x , z , y ) {displaystyle (x,y,z) ightarrow (x,z,y)} также имеет неподвижную точку.

Также есть доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ.