Теорема Райкова

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины ξ 1 {displaystyle xi _{1}} и ξ 2 {displaystyle xi _{2}} независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. .

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю.В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина ξ {displaystyle xi } имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин ξ = ξ 1 + ξ 2 {displaystyle xi =xi _{1}+xi _{2}} . Тогда распределения случайных величин ξ 1 {displaystyle xi _{1}} и ξ 2 {displaystyle xi _{2}} являются смещёнными распределениями Пуассона.

Вариации и обобщения

Обощение на локально компактные абелевы группы

Пусть X {displaystyle X} — локально компактная абелева группа. Обозначим через M 1 ( X ) {displaystyle M^{1}(X)} сверточную полугруппу вероятностных распределений на X {displaystyle X} , а через E x {displaystyle E_{x}} — вырожденное распределение, сосредоточенное в точке x ∈ X {displaystyle xin X} . Пусть x 0 ∈ X {displaystyle x_{0}in X} , λ > 0 {displaystyle lambda >0} .

Распределением Пуассона, порождённым мерой λ E x 0 {displaystyle lambda E_{x_{0}}} , называется смещённым распределения вида

μ = e ( λ E x 0 ) = e − λ ( E 0 + λ E x 0 + λ 2 E 2 x 0 / 2 ! + … + λ n E n x 0 / n ! + … ) . {displaystyle mu =e(lambda E_{x_{0}})=e^{-lambda }(E_{0}+lambda E_{x_{0}}+lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+ldots +lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+dots ).}

Имеет место следующая теорема Райкова на локально компактных абелевых группах:

Пусть μ {displaystyle mu } — распределение Пуассона, порождённое мерой λ E x 0 {displaystyle lambda E_{x_{0}}} . Пусть μ = μ 1 ∗ μ 2 , {displaystyle mu =mu _{1}*mu _{2},} где μ j ∈ M 1 ( X ) {displaystyle mu _{j}in M^{1}(X)} . Если x 0 {displaystyle x_{0}} — либо элемент бесконечного порядка, либо порядка 2, то μ j {displaystyle mu _{j}} также является распределением Пуассона. Если же x 0 {displaystyle x_{0}} — элемент конечного порядка n {displaystyle n} , n ≠ 2 {displaystyle n eq 2} , то μ j {displaystyle mu _{j}} может быть не распределением Пуассона.