Уравнение Брейта

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Уравнение Брейта

12.12.2020

Уравнение Брейта — релятивистское волновое уравнение, полученное Грегори Брейтом в 1929 году на основе уравнения Дирака. Оно описывает две или более массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны), которые взаимодействуют электромагнитно с точностью до первого порядка теории возмущений. Оно учитывает магнитные взаимодействия и запаздывающие эффекты с точностью до 1/c². Когда другие квантовые электродинамические эффекты незначительны, это уравнение показывает хорошее согласование с экспериментом. Впервые оно было получено из дарвиновского лагранжиана, а позже доказано в теории поглощения Уилера — Фейнмана и, наконец, в квантовой электродинамике.

Вступление

Уравнение Брейта является не только приближением в терминах квантовой механики, но и в терминах теории относительности, поскольку не вполне инвариантно относительно преобразований Лоренца. Как и уравнение Дирака, оно трактует ядра как точечные источники внешнего поля для частиц, которые оно описывает. Для N частиц уравнение Брейта имеет вид (rij — расстояние между частицами i и j):

где

H ^ D ( i ) = [ q i ϕ ( r i ) + c ∑ s = x , y , z α s ( i ) π s ( I ) + α 0 ( I ) m 0 c 2 ] {displaystyle {hat {H}}_{D}(i)=left[q_{i}phi (mathbf {r} _{i})+csum _{s=x,y,z}alpha _{s}(i)pi _{s}(I)+alpha _{0}(I)m_{0}c^{2} ight]}

гамильтониан Дирака для i-й частицы с координатой ri и φ(ri) скалярный потенциал в этом положении. qi — заряд частицы, поэтому для электрона qi = −e.

Одноэлектронные дираковские гамильтонианы для частиц, вместе со своими мгновенными кулоновскими взаимодействиями qiqj/rij, формируют оператор Дирака — Кулона. К этому Брейт добавил следующий оператор (оператор Брейта):

B ^ i j = − 1 2 r i j [ a ( i ) ⋅ a ( j ) + ( a ( i ) ⋅ r i j ) ( a ( j ) ⋅ r i j ) r i j 2 ] {displaystyle {hat {B}}_{ij}=-{frac {1}{2r_{ij}}}left[mathbf {a} (i)cdot mathbf {a} (j)+{frac {left(mathbf {a} (i)cdot mathbf {r} _{ij} ight)left(mathbf {a} (j)cdot mathbf {r} _{ij} ight)}{r_{ij}^{2}}} ight]} ,

где матрицы Дирака для i-го электрона: a(i) = [αx(i),αy(i),αz(i)]. Два слагаемых в операторе Брейта соответствуют запаздывательным эффектам к первому порядку. Волновая функция Ψ в уравнении Брейта является спинором с 4N элементами, поскольку каждый электрон описывается дираковским биспинором с 4 элементами, а полная волновая функция их тензорным произведением.

Гамильтониан Брейта

Полный гамильтониан в уравнении Брейта, так называемый гамильтониан Дирака — Кулона — Брейта (HDCB) можно разложить на операторы энергии для электронов в магнитном и электрическом полях (также известный как гамильтониан Брейта — Паули), имеющие хорошо определённый смысл при рассмотрении взаимодействий молекул с магнитными полями (например, в случае ядерного магнитного резонанса):

B ^ i j = H ^ 0 + H ^ 1 + . . . + H ^ 6 {displaystyle {hat {B}}_{ij}={hat {H}}_{0}+{hat {H}}_{1}+...+{hat {H}}_{6}} ,

где H ^ 0 {displaystyle {hat {H}}_{0}} — нерелятивистский гамильтониан ( m i {displaystyle m_{i}} — масса покоя частицы i):

H ^ 0 = ∑ i p ^ i 2 2 m i + ∑ i > j q i q j r i j {displaystyle {hat {H}}_{0}=sum _{i}{frac {{hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+sum _{i>j}{frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}} ;

H ^ 1 {displaystyle {hat {H}}_{1}} — релятивистская поправка к нерелятивистскоому гамильтониану (связанная с разложением энергии по степеням скорости света E k i n = m i c 2 1 + γ 2 v 2 / c 2 − m i c 2 {displaystyle E_{kin}=m_{i}c^{2}{sqrt {1+gamma ^{2}v^{2}/c^{2}}}-m_{i}c^{2}} ):

H ^ 1 = − 1 8 c 2 ∑ i p ^ i 4 m i 3 {displaystyle {hat {H}}_{1}=-{frac {1}{8c^{2}}}sum _{i}{frac {{hat {p}}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}}} ;

H ^ 2 {displaystyle {hat {H}}_{2}} — поправка, частично учитывает запаздывание и может быть описана как взаимодействие между магнитными дипольными моментами частиц, возникающими вследствие орбитального движения зарядов (взаимодействие орбита — орбита):

H ^ 2 = − ∑ i > j q i q j 2 r i j m i m j c 2 [ p ^ i ⋅ p ^ j + ( r i j ⋅ p ^ i ) ( r i j ⋅ p ^ j ) r i j 2 ] {displaystyle {hat {H}}_{2}=-sum _{i>j}{frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j}c^{2}}}left[mathbf {hat {p}} _{i}cdot mathbf {hat {p}} _{j}+{frac {(mathbf {r_{ij}} cdot mathbf {hat {p}} _{i})(mathbf {r_{ij}} cdot mathbf {hat {p}} _{j})}{r_{ij}^{2}}} ight]} ;

H ^ 3 {displaystyle {hat {H}}_{3}} — классическое взаимодействие между орбитальными магнитными моментами (вследствие орбитального движения зарядов) и спиновыми магнитными моментами (так называемое спин-орбитальное взаимодействие). Первое слагаемое описывает взаимодействие спина частицы с собственным орбитальным моментом (F(ri) — электрическое поле в месте расположения частицы), а второе слагаемое - с орбитальным моментом другой частицы:

H ^ 3 = μ B c ∑ i 1 m i s i ⋅ [ F ( r i ) × p ^ i + ∑ j > i 2 q i r i j 3 r i j × p ^ j ] {displaystyle {hat {H}}_{3}={frac {mu _{B}}{c}}sum _{i}{frac {1}{m_{i}}}mathbf {s} _{i}cdot left[mathbf {F} (mathbf {r} _{i}) imes mathbf {hat {p}} _{i}+sum _{j>i}{frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}mathbf {r} _{ij} imes mathbf {hat {p}} _{j} ight]} ;

H ^ 4 {displaystyle {hat {H}}_{4}} — неклассическое, присущее теории Дирака слагаемое, которое также называют дарвиновским вкладом:

H ^ 4 = i h 8 π c 2 ∑ i q i m i 2 p ^ i ⋅ F ( r i ) {displaystyle {hat {H}}_{4}={frac {ih}{8pi c^{2}}}sum _{i}{frac {q_{i}}{m_{i}^{2}}}mathbf {hat {p}} _{i}cdot mathbf {F} (mathbf {r} _{i})} ;

H ^ 5 {displaystyle {hat {H}}_{5}} — магнитный момент спин-спинового взаимодействия. Первое слагаемое называется контактным взаимодействием, поскольку он отличен от нуля только, когда частицы находятся в одной точке. Второе слагаемое - классическая взаимодействие диполь-дипольного типа:

H ^ 5 = 4 μ B 2 ∑ i > j { − 8 π 3 ( s i ⋅ s j ) δ ( r i j ) + 1 r i j 3 [ s i ⋅ s j − 3 ( s i ⋅ r i j ) ( s j ⋅ r i j ) r i j 2 ] } {displaystyle {hat {H}}_{5}=4mu _{B}^{2}sum _{i>j}leftlbrace -{frac {8pi }{3}}(mathbf {s} _{i}cdot mathbf {s} _{j})delta (mathbf {r} _{ij})+{frac {1}{r_{ij}^{3}}}left[mathbf {s} _{i}cdot mathbf {s} _{j}-{frac {3(mathbf {s} _{i}cdot mathbf {r} _{ij})(mathbf {s} _{j}cdot mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}} ight] ight brace } ;

H ^ 6 {displaystyle {hat {H}}_{6}} — взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов с внешним магнитным полем H:

H ^ 6 = 2 e ℏ 2 m c ∑ i [ H ( r i ) ⋅ s i + q i m i c A ( r i ) ⋅ p ^ i ] {displaystyle {hat {H}}_{6}={frac {2ehbar }{2mc}}sum _{i}left[mathbf {H} (mathbf {r} _{i})cdot mathbf {s} _{i}+{frac {q_{i}}{m_{i}c}}mathbf {A} (mathbf {r} _{i})cdot mathbf {hat {p}} _{i} ight]} .



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: