Дифференциальные формы в электромагнетизме

Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени.

Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

F = 1 2 F a b d x a ∧ d x b . {displaystyle { extbf {F}}={frac {1}{2}}F_{ab},{mathrm {d} }x^{a}wedge {mathrm {d} }x^{b}.}

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная к 4-вектору тока, имеет вид

J = J a ε a b c d d x b ∧ d x c ∧ d x d . {displaystyle { extbf {J}}=J^{a}varepsilon _{abcd},{mathrm {d} }x^{b}wedge {mathrm {d} }x^{c}wedge {mathrm {d} }x^{d}.}

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

d F = 0 {displaystyle mathrm {d} ,{ extbf {F}}={ extbf {0}}} , d ∗ F = J {displaystyle mathrm {d} ,{*{ extbf {F}}}={ extbf {J}}} ,

где ∗ {displaystyle *} — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ∗ F {displaystyle *mathbf {F} } также называется 2-формой Максвелла.