Сферическая проекция кристаллов
Так как реальные размер и форма различных граней кристалла являются в основном результатом случайностей роста, то желательно уменьшить этот аспект кристалла на проекции и в то же время подчеркнуть угловые отношения между гранями. Этого можно достигнуть, используя сферическую проекцию. Хотя сферическая проекция сама по себе трехмерна, ее понимание необходимо, так как она служит основой остальных проекций кристаллов. Мы можем изобразить построение такой проекции следующим образом. Представим себе пустотелую модель кристалла, содержащую яркий точечный источник света. Поместим теперь эту модель в большой пустой шар из полупрозрачного материала таким образом, что источник света находится в центре шара. Если теперь проделать булавочные отверстия в каждой грани так, чтобы луч света, выходящий из прокола, был перпендикулярен грани, то эти лучи будут падать на внутреннюю поверхность сферы и образовывать яркие пятна. Общая ситуация напоминает планетарий, в котором модель кристалла со своим внутренним источником света и проколами является проектором, а полупрозрачный шар — куполом. Если теперь отметить на сфере положение каждого пятна света, то можно удалить модель, по останется постоянная запись ее граней. Каждая из кристаллических граней представлена на сфере точкой, называемой полюсом грани. Это и есть сферическая проекция.
Положение каждого полюса, и таким образом его угловое отношение к остальным полюсам, может быть зафиксировано угловыми координатами на сфере. Это делается так же, как определяется положение точки на земной поверхности с помощью долготы и широты. Например, угловые координаты 74° 00' западной долготы и 40° 45' северной широты определяют положение города Нью-Йорка. Это означает, что угол, измеренный в центре Земли, между плоскостью экватора и линией, проходящей через центр Земли и точку Нью-Йорк, равен точно 40° 45', а угол между гринвичским меридианом и меридианом, проходящим через Нью-Йорк, измеренный в плоскости экватора к западу от нулевого меридиана, составляет 74° 00'. Эти отношения показаны на рис. 2.42.
Аналогичную систему можно использовать для локализации полюсов граней на сферической проекции кристалла. Между локализацией точек на земной поверхности и на сферической проекции есть одно существенное различие. На Земле широта измеряется в градусах к северу и югу от экватора, тогда как угол, используемый в сферической проекции, дополнительный к широте, или полярный угол, который измеряется в градусах от северного полюса. Таким образом, северный полюс на проекции кристалла имеет полярный угол 0°, а экватор 90°. Полярный угол Нью-Йорка 49° 15'. Этот угол в кристаллографии обозначается греческой буквой р (ро).
«Кристаллическая долгота» полюса грани на сферической проекции измеряется точно так же, как и долгота на земле в градусах до 180е, по часовой и против часовой стрелки от начального меридиана, аналогичного гринвичскому меридиану в географии. Для установления этого исходного меридиана кристалл обычно ориентируется так, чтобы грань (010) была справа. Меридиан, проходящий через полюс этой грани, принимается за нулевой. Таким образом, для определения кристаллической долготы любой грани кристалла проводится меридиан через полюс этой грани, и в плоскости экватора измеряется угол между этим меридианом и нулевым. Этот угол обозначается греческой буквой Ф (фи).
Любая плоскость, проходящая через сферу, пересекает поверхность сферы по кругу. Круги максимального диаметра образуются плоскостями, проходящими через центр, и их диаметр равен диаметру сферы. Они называются большими кругами. Все остальные круги, образованные плоскостями, проходящими через сферу, — это малые круги. Меридианы на Земле и экватор — большие круги, а параллели — малые.
Сферическая проекция кристалла выявляет интересные отношения зон, так как полюсы всех граней одной зоны ложатся на большой круг проекции. На рис. 2.43 (сферическая проекция) грани (001), (101), (100), (101) и (001) лежат в зоне с осью [010]. Так как большой круг, вдоль которого лежат полюсы этих граней, проходит через северный и южный полюсы проекции, то он называется вертикальным большим кругом. Зональная ось всегда перпендикулярна плоскости, содержащей полюсы граней, таким образом, все вертикальные круги имеют горизонтальные зональные оси.