Кристаллографические оси

При описании кристаллов удобно, в соответствии с методами аналитической геометрии, относить внешние формы или внутреннюю симметрию к набору трех координатных осей. Эти воображаемые линии известны как кристаллографические оси и обычно они принимаются параллельными ребрам, по которым пересекаются главные грани кристалла. Такие оси во многих случаях определяются симметрией и совпадают с осями симметрии или перпендикулярами к плоскостям симметрии. Для некоторых кристаллов можно по-разному выбрать кристаллографические оси, если выбор делать только по морфологии. В идеале оси должны быть параллельны, а длины их пропорциональны ребрам элементарной ячейки.

Все кристаллы, за исключением гексагональных и тригональных, описываются в трех кристаллографических осях, обозначаемых а, b и с. В общем случае (триклинная сингония) все оси имеют разную длину, и углы между ними непрямые. В ромбической системе все три оси также разной длины, но они взаимно перпендикулярны. Этот набор осей, изображенный на рис. 2.28, а, по соглашению ориентируется следующим образом: ось а горизонтальна и направлена на наблюдателя, ось b горизонтальна и направлена слева направо, ось с вертикальна. Концы каждой оси обозначаются знаком плюс или минус, передний конец оси а, правый конец оси b и верхний конец оси с — положительные, противоположные концы — отрицательные. Общий случай (триклинный) показан на рис. 2.28, б. Принято обозначать углы между положительными концами осей греческими буквами α, β и γ. Угол α заключен между направлениями осей b и с, угол β — между а и с и угол γ — между а и b. Обобщая, можно сказать, что семь кристаллографических систем имеют такие осевые направления и углы:

- триклинная — три неравных оси, все пересекаются под косыми углами;

- моноклинная — три неравных оси, две из которых наклонены друг к другу под косым углом, а третья перпендикулярна плоскости двух остальных;

- ромбическая — три взаимно перпендикулярные оси, все разной длины;

- тетрагональная — три взаимно перпендикулярные оси, две из которых (горизонтальные оси) имеют равную длину (а1 и а2), а вертикальная ось короче или длиннее двух остальных;

- гексагональная и тригональная — описываются в четырех кристаллографических осях; три горизонтальных оси (а1, а2 и а3) пересекаются под углом 120°, четвертая (вертикальная) имеет иную длину и перпендикулярна к плоскости трех остальных;

- кубическая — три взаимно перпендикулярных оси равной длины (а1, а2 и а3).

Осевые отношения

Во всех кристаллографических системах, за исключением кубической, кристаллографические оси различаются но длине. Если бы возможно было отделить элементарную ячейку и измерить величину ребер, параллельных кристаллографическим осям, то можно было бы записать отношения между длинами ребер. Рентгеновские кристаллографы не могут отделить элементарную ячейку, но они могут точно измерить размеры ячейки в ангстремах (1А = 10в-8 см = 0,1 нм). Так, для ромбического минерала сера даются такие размеры элементарной ячейки: a = 10,47 А, b = 12,87 А и с 24,49 А (рис. 2.29). Используя длину оси b как единицу измерения, мы можем выразить размеры осей а и с. Таким образом, a/b:b/b:c/b = X:I:Y. В случае серы можно написать отношения а:b:с = 0,813:1:1,903, т. е. отношения выражают относительные, а не абсолютные длины ребер элементарной ячейки, которые соответствуют кристаллографическим осям. Ранее было показано, что число плоскостей кристалла, проявляющихся как грани, ограничено и что угловые отношения между ними зависят от элементарной ячейки, т. е. от длины ее ребер и углов между ребрами. Задолго до того, как рентгеновские исследования сделали возможным определение абсолютных размеров элементарной ячейки, была выявлена связь морфологии кристаллов и внутренней структуры и рассчитывались осевые отношения. Измерив межгранные углы в кристалле и проведя соответствующие расчеты, можно прийти к осевым отношениям, которые выражают относительные длины кристаллографических осей. Интересно посмотреть, насколько близко осевые отношения, рассчитанные из размеров элементарной ячейки, совпадают с более старыми отношениями, выведенными из морфологических измерений. Например, по морфологическим измерениям и расчетам отношения для серы, опубликованные в 1869 г., — а:b:с — 0,8131:1:1,9034, а по измерениям элементарной ячейки рентгеновскими методами в 1960 г. они составляют — а:b:с = 0 8135:1:1,9029.

Параметры

Кристаллические грани определяются указанием отрезков, которые они отсекают на кристаллографических осях. Таким образом, описывая грань кристалла, необходимо указать, параллельна ли она двум осям и пересекает третью, параллельна одной оси и пересекает две остальные или пересекает все три. Кроме того, необходимо указать, на каком относительном расстоянии грань пересекает различные оси. Определяя положение кристаллической грани, следует помнить, что грани кристалла параллельны семейству возможных плоскостей решетки. На рис. 2.30, а мы имеем плоскость а—b ромбической сетки, вычерченной по размерам элементарной ячейки серы.

Плоскость решетки AA параллельна осям b и с и пересекает ось а на расстоянии единицы от начала координат (в качестве единицы по этой оси взят параметр а). Отрезки для этой плоскости будут: 1а, ооb, оос. Аналогично, плоскость A'A', которая параллельна AA, но пересекает ось а на расстоянии двух единиц длины от начала, характеризуется отрезками: 2а, ооb, оос. Плоскость RB, которая параллельна осям а и с, но пересекает ось b на единичном расстоянии, характеризуется отрезками: ооа, 1b, оос. Плоскость AD пересекает обе горизонтальные оси (а и b) на единичных расстояниях от начала, но параллельна оси с, что приводит к таким отрезкам: 1а, 1b, оoc. Плоскость, которая пересекает все три оси на единичных расстояниях, давала бы отрезки: la, 1b, 1с. На рис. 2.30, б показано развитие кристаллических граней, параллельных плоскостям решетки, отмеченным на рис. 2.30, а. Следует помнить, что параметры (отрезки), указанные на гранях, — это только относительные значения, не указывающие на действительные длины, отрезаемые на осях.

Если надо приписать параметры граням кристалла, не зная размеров его элементарной ячейки, то той грани, которая пересекает все три оси, произвольно приписываются единичные параметры la, 1b, 1с. В том случае, если имеются несколько граней, пересекающих все три оси, то грань, называемая единичной гранью, обычно наибольшая. На рис. 2.31 показан ромбический кристалл, все грани которого пересекают все три кристаллографические оси. Самая большая грань (заштрихована), пересекающая положительные направления всех трех кристаллографических осей, выбрана в качестве единичной грани. Как показано на рисунке, ее отрезки будут 1а, 1b, 1с. Отрезки меньшей грани, расположенной выше нее, могут быть теперь оценены, если продолжить ребра этой грани до пересечения осей а и b. Отрезки верхней грани относительно нижней станут 2а, 2b, 2/3 с. Эти отрезки можно разделить на общий делитель 2, что даст 1а, 1b, 1/3 с. Этот пример показывает, что параметры 1a и 1b выражают не действительные величины отрезков, а только относительные значения. Параметры грани не имеют отношения к ее размерам, так как грань может быть передвинута параллельно самой себе на любое расстояние без изменения относительных значений ее отрезков на кристаллографических осях.

Индексы Миллера

Для представления отрезков кристаллических граней на кристаллографических осях были придуманы различные способы обозначения. Наиболее распространена система индексов, предложенная В. X. Миллером и имеющая много преимуществ перед системой параметров, рассмотренной выше.

Миллеровский индекс грани представляет собой ряд [наименьших] целых чисел, которые получаются обращением параметров (и, если необходимо, последующим приведением дробей к общему знаменателю с отбрасыванием его). Индексы грани всегда даются в таком порядке, что эти три числа (четыре для гексагональной и тригональной систем) относятся соответственно к осям a, b я с, и поэтому буквы, которые обозначают различные оси, опускаются. Подобно параметрам, индексы Миллера выражают отношения, но для краткости знак отношения также опускается. Для обеих верхних граней рис. 2.31, которые пересекают положительные направления кристаллографических осей, соответствующие параметры будут 1а, 1b, 1c и 2а, 2b, 2/3с. Величины, обратно пропорциональные этим параметрам, соответственно 1/1 1/1 1/1 и 1/2 1/2 3/2.

Для единичной грани это дает миллеровский индекс (111), а умножение всех дробей 1/21/23/2 на 2 приводит к миллеровскому индексу (113) для другой грани. Миллеровский индекс (111) читается «один один один». Дополнительные примеры перехода от параметров к миллеровским индексам для кубических решеток и форм кристалла даны на рис. 2.32. Точки в индексах Миллера используются только в том случае, если появляются двузначные числ, как в (1.14.3). Для граней, которые пересекают отрицательные концы кристаллографических осей, над соответствующим числом помещается линия, как показано на рис. 2.33. Например, (111) читается «один минус один один». Следует отметить, что индексы, приведенные выше для отдельных граней, заключены в круглые скобки. Это сделано для того, чтобы отличить их от похожих символов, обозначающих кристаллические формы (с. 60) и осевые направления.

Иногда, если точные значения отрезков неизвестны, удобно применять общий символ (hkl) для миллеровских индексов; здесь h, k, l величины, обратно пропорциональные рациональным, но неизвестным отрезкам по осям a, b и с. Символ (hkl) обозначает, что грань пересекает все три кристаллографические оси, не уточняя относительных единиц вдоль осей. Если грань параллельна одной из кристаллографических осей и пересекает две другие, общий символ может быть написан в виде (okl), (hol) и (hko). Грань, параллельную двум из осей, можно считать пересекающей третью на единичном расстоянии, и ее индексами поэтому могут быть (100), (010) и (001), а также отрицательные эквиваленты, такие как (100), (101) и (001).

Ранее при изучении кристаллов было обнаружено, что для данной грани индексы всегда можно выразить небольшими целыми числами или нулем. Этот факт известен как закон рациональных индексов. (В отечественной литературе, в соответствии с историческим принципом, принято говорить о законе рациональных параметров. — Прим. перев.).