Пространственные группы в кристаллах » Ремонт Строительство Интерьер

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Пространственные группы в кристаллах

09.07.2021

Мы рассмотрели бестрансляционные элементы симметрии (поворот, инверсионный поворот, зеркальное отражение и центр инверсии), а также элементы чистой трансляции (например, в решетках). Учет бестрансляционных элементов симметрии приводит к выделению 32 точечных групп, или кристаллографических классов. Учет типов элементарных ячеек и типов решеток, совместимых с 32 точечными группами, приводит к выделению 14 типов решеток Бравэ. Если мы захотим рассмотреть, какие комбинации элементов симметрии (как трансляционных, так и бестрансляционных) возможны для пространственных решеток, то придем к концепции пространственных групп. Они представляют, следовательно, различные способы, которыми мотивы (такие как атомы в кристаллах) могут быть расположены в пространстве в однородном массиве (однородный означает, что каждая единица мотива имеет одинаковое отношение к остальной части узора). В пространственных группах находят свое отражение как тип решетки и точечная группа симметрии, так и наличие дополнительных элементов симметрии, представленных винтовыми осями и плоскостями скользящего отражения.

Комбинация поворотной оси с трансляцией t, параллельной оси, известна как винтовая ось. Все поворотные оси 2-, 3-, 4- и 6-ная могут быть соединены с такой трансляцией. Поворотная ось 1-го порядка, объединенная с такой трансляцией, эквивалентна просто трансляции. Эти операции винтовых осей действуют на единицы мотива в трех измерениях, и их воздействие графически иллюстрируется и сравнивается с поворотными осями на рис. 2.20. Путь, которым единицы мотива проходят от первоначальной единицы, винтовой, и ориентировка каждой единицы отличается от соседнего мотива на угол поворота а. Как при любом винтовом движении, винтовые оси бывают правые и левые. Правую ось можно определить как такую, которая удаляется от наблюдателя при вращении по часовой стрелке. Символы винтовой оси состоят из символов для поворотных осей (2, 3, 4 и 6) с подстрочным индексом, который указывает на долю трансляции t, входящей в действие винтовой оси. Например, 21 означает, что включается 1/2t (полученная, если поместить подстрочный индекс над символом основной оси, как в дроби). Для тройного поворота существуют две возможных винтовых оси, а именно, 31 и 32. Трансляционная компонента у обеих винтовых осей — 1/3t, но эти обозначения позволяют различать направления винта. Если отношение индекса к числу поворотов оси (как 1/3 для 31) 1/2, то винт правый. Если это отношение 1/2, то он левый (как в 32), а если отношение 1/2, то винт считается нейтральным (см. рис. 2.20). Другими словами, 31 и 32 — это энантиоморфная пара винтовых осей, где 31 — левая, а 3, — правая ось. Аналогично энантиоморфны следующие пары: 41 и 43; 6, и 65; 62 и 64. Другой способ представления действия двух энантиоморфных пар винтовых осей показан на рис. 2.21. Здесь единицы мотива спроектированы на плоскость страницы (из-под страницы), и получившееся представление очень похоже на рис. 2.7 и 2.8, соответственно, для поворотных и поворотно-инверсионных осей. Дроби рядом с единицами мотива на рис. 2.21 указывают, на каком расстоянии эти единицы лежат ниже страницы. Дроби имеют вид t/n и им предшествует знак (~), для того, чтобы указать, что единицы мотива лежат ниже страницы (в отрицательном направлении оси z в координатной системе х, у, z).
Пространственные группы в кристаллах

О винтовых осях говорят, что они изогональны (что по-гречески значит «равноугольны») с соответствующими поворотными осями. Это означает, что винтовые оси 31 и 32 поворачивают мотив на тот же угол, что и 3-ная поворотная ось (в обоих случаях 120°).

В добавление к повторению мотива зеркальным отражением можно получить правильный узор комбинацией зеркального отражения и трансляции. Эта операция известна как плоскость скользящего отражения, или плоскость скольжения. Плоскость скольжения вызывает зеркальное отражение единицы мотива и трансляцию (перенос) параллельно зеркалу. На рис. 2.22 показано, как единицы мотива связаны с плоскостью скольжения, имеющей компоненту трансляции t/2.

В двух- и трехмерных узорах можно выделить особые направления скольжения и выразить их через набор осей, таких как х, у и z. Однако кристаллографы относят как внутренний порядок, так и внешнюю морфологию кристаллов к трем осям a, b и с. Ось с вертикальна, оси а и b лежат в плоскости, которая не содержит с. Если компонента скольжения t/2 в трехмерном упорядоченном расположении параллельна оси а, то такая плоскость называется плоскостью скольжения а. Аналогично, если компонента скольжения параллельна осям b или с, то соответственно имеются плоскости скольжения b или с. Если компонента скольжения включает два осевых направления и параллельна третьей и если компонента трансляции может быть представлена как а/2 + b/2, а/2 + с/2 или b/2 + с/2 — такие плоскости называются клиноплоскостями и обозначаются символом n. Если компоненту скольжения можно представить в виде а/4 + b/4, b/4 + с/4, а/4 + с/4 (или а/4 + b/4 + с/4), то такая плоскость называется диагональной, или «алмазной» плоскостью и символически обозначается буквой d.

Существует 230 различных способов, которыми элементы симметрии (включая винтовые оси и плоскости скольжения) могут быть соединены в пространственных группах. Поскольку вывод всех 230 пространственных групп — это слишком длинная процедура, мы проиллюстрируем только некоторые концепции, связанные с пространственными группами, и осуществим вывод небольшого числа низкосимметричных пространственных групп. Как отмечалось ранее, наличие плоскостей скольжения или винтовых осей или периодов трансляции (как в решетке) нельзя обнаружить морфологически, так как трансляции имеют порядок от 1 до 10 А и их нельзя увидеть невооруженным глазом. Комбинации бестрансляционных элементов симметрии — это точечные группы, тогда как пространственные группы определяют симметрию и трансляции в пространственна атомном уровне). Если исключить компоненты трансляции в 230 пространственных группах, то придем к выделению 32 точечных групп.

Пространственные группы имеют две характеристики.

1. Они изогональны с 32 точечными группами. Изогональность означает, что поворотные и винтовые оси с одним и тем же периодом повторения при повороте имеют один и тот же угол поворота (например, 60° для 6-ной поворотной или 6-ной винтовой оси). Это означает, что винтовые оси 61, 62, 63, 64 и 65 изогональны с поворотной осью 6. Другими словами, точечная группа — это свободный от трансляции остаток семейства возможных изогональных пространственных групп.

2. В основе их лежит одна из 14 решеток Бравэ, совместимых с данной точечной группой.

Обозначение конкретной точечной группы состоит из ряда элементов симметрии, как в 2/m2/m2/m. Для каждого из специфических элементов симметрии точечной группы имеется возможный элемент пространственной группы. Другими словами, вместо зеркальных плоскостей, перпендикулярных первой и второй 2-ным поворотным осям, на их местах могут быть плоскости скольжения, что было бы обозначено 2/b2/а2/m. Кроме того, обозначению пространственной группы предшествует символ, обозначающий общий тип решетки (P, А, В, С, I, F и R). Полный символ для пространственной группы, изогональной с 2/m2/m2/m, может быть 12/b2/а2/m. Другим примером пространственной группы, изогональной с 2/m2/m2/m, может быть Р21/b21/с21/а и т. д.

Теперь продемонстрируем вывод некоторых пространственных групп в триклинной и моноклинной системах. В триклинной системе возможны только две пространственные группы: P1 и P1'. В этом случае мы объединяли обе возможные точечные группы в триклинной системе 1 и 1 с единственным возможным типом решетки — P. В моноклинной системе следовало бы рассмотреть три возможные точечные группы (2, m, 2/m) и два возможных типа решетки (P и I). Ограничимся рассмотрением одной точечной группы 2 и обоих возможных типов решетки (Р и I; I в моноклинной системе можно преобразовать в А, В или С, см. примечание к рис. 2.18). Четыре возможных обозначения пространственных групп таковы: P2, P21, I2 и I21. Рис. 2.23 иллюстрирует расположение единиц мотива (запятых) относительно 2-ной поворотной и 2-ной винтовой осей в моноклинной элементарной ячейке. Из этих четырех возможных пространственных групп только три оказываются самостоятельными, так как I2 и 121 эквивалентны по расположению своих элементов симметрии, за исключением выбора начала решетки. Следовательно, три самостоятельные пространственные группы для моноклинной точечной группы 2 такие: P2, Р21 и /2 (последняя эквивалентна В2). Более полное рассмотрение вывода других пространственных групп можно найти в книге М. Бюргера «Элементарная кристаллография». Полный список всех возможных пространственных групп и их графическое представление приведено в «Международных таблицах по рентгеновской кристаллографии», т. I, 1969 г.

Следует отметить, что те символы, которые мы используем повсюду в нашем рассмотрении элементов симметрии, являются интернациональными символами, называемыми также символами Германа — Могена по фамилии авторов. Однако в литературе можно встретить и другой тип обозначений для пространственных групп, называемый обозначениями Шенфлиса. Обозначения Шенфлиса не следуют логически из символов точечных групп и здесь не употребляются. Литература в конце главы позволит вам познакомиться с системой Шенфлиса.

Один из аспектов символов Германа — Могена, который может потребовать пояснения, — это использование кристаллографами так называемых сокращенных символов. В нашем изложении повсюду использовались полные символы, такие как 2/m2/m2/m и 4/m2/m2/m. Сокращенные символы для этих двух точечных групп соответственно будут mmm и 4/mmm. Причиной для сокращения 2/m2/m2/m является понимание того факта, что три взаимноперпендикулярные зеркальные плоскости пересекают друг друга вдоль 2-ной оси. Аналогичные причины объясняют сокращения для 4/mmm. В большей части этого текста мы для ясности будем употреблять только полные символы точечных групп. В литературе для обозначения пространственных групп обычно используются сокращенные символы. Например, минерал с точечной группой М4/m32/m может иметь пространственную группу, представленную в виде Fm3m, так как присутствие 4-ной и 2-ной поворотных осей подразумевается. Такие сокращенные символы для обозначения пространственных групп будут использованы в четырех главах по систематической минералогии.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: